Прямоугольник и квадрат: периметр и площадь: задачи с решениями и ответами

1. Прямоугольник: что такое периметр и площадь

Если в задаче про прямоугольник путаются стороны, единицы измерения и формулы, решение кажется сложнее, чем есть. Разберём тему пошагово: ты научишься находить периметр и площадь, проверять ответ и замечать типичные ловушки.

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны. Обозначим длину буквой a, ширину — b. Периметр показывает длину границы фигуры, поэтому складываются все четыре стороны. Площадь показывает, сколько квадратных единиц помещается внутри.

Периметр: P = 2 · (a + b)
Площадь: S = a · b
Если a = 8 см, b = 3 см:
P = 2 · (8 + 3) = 22 см
S = 8 · 3 = 24 см²

Заметь: периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах. Частая ошибка — написать для площади «см» или умножить стороны, когда требуется периметр. Перед вычислениями подчеркни в условии слова «огородить», «лента», «граница» или «покрыть», «занимает», «внутри».

Для дополнительной тренировки задач на вычисления можно посмотреть разбор задания 2 ОГЭ по математике.

2. Квадрат и его особые формулы

Квадрат — это прямоугольник, у которого все четыре стороны равны. Поэтому для него действуют те же идеи, но вычисления становятся короче. Если сторона квадрата равна a, периметр находится умножением стороны на четыре, а площадь — умножением стороны самой на себя.

Периметр квадрата: P = 4 · a
Площадь квадрата: S = a · a = a²
При a = 6 дм:
P = 4 · 6 = 24 дм
S = 6² = 36 дм²

Квадрат удобно узнавать по условию: «клумба имеет форму квадрата», «все стороны равны», «сторона равна…». Если известен периметр, сторону можно найти обратным действием: a = P ÷ 4. Например, при P = 28 см сторона равна 7 см, а площадь — 49 см².

Типичная ошибка — использовать формулу прямоугольника P = 2 · (a + b) для квадрата и забыть, что обе стороны равны. Формула даст тот же результат, но запись 4 · a будет понятнее.

3. Разобранная задача на площадь прямоугольника

Решим задачу полностью. Длина прямоугольной площадки равна 12 м, а ширина — 5 м. Найдём площадь и длину ограждения вокруг площадки. Здесь нужны сразу две формулы, поэтому важно не смешать ответы.

Дано: a = 12 м, b = 5 м
Площадь: S = a · b = 12 · 5 = 60 м²
Периметр: P = 2 · (a + b) = 2 · (12 + 5) = 34 м
Ответ: площадь — 60 м², ограждение — 34 м.

Сначала мы нашли площадь, потому что вопрос называет её первым, затем вычислили периметр. В записи обязательно указаны единицы: квадратные метры относятся к площади, обычные метры — к длине ограждения.

Если в условии спрашивают только площадь, лишнее вычисление периметра не требуется. Но полезно определить, какое действие описывает ситуацию: покрыть плиткой — площадь, поставить забор — периметр. Не складывай 12 м и 5 м для площади: сумма сторон описывает длину, а не внутреннее пространство.

Попробуй решить похожую задачу самостоятельно: длина 9 см, ширина 4 см. Получатся S = 36 см² и P = 26 см. Затем проверь, не потерялась ли единица измерения.

4. Обратные задачи: как найти сторону

Иногда известна площадь или периметр, а одну сторону нужно восстановить. Если известны площадь S и длина a, неизвестную ширину находят делением: b = S ÷ a. Если известен периметр, сначала делят его на два, а затем вычитают известную сторону.

Площадь 48 см², длина 8 см:
b = 48 ÷ 8 = 6 см
Проверка: 8 · 6 = 48 см²

Проверь здравый смысл: если площадь 48 см², сторона 8 см, вторая сторона действительно 6 см. Ошибка часто появляется, когда ученик пытается вычесть стороны из площади или забывает деление на два в формуле периметра.

5. Тренировка: задачи с ответами

Теперь закрепим способы решения на коротких задачах. Читай вопрос до конца: одно и то же число может участвовать в разных формулах, но смысл действия меняется.

1. Стороны прямоугольника 11 см и 7 см.
S = 11 · 7 = 77 см²; P = 2 · (11 + 7) = 36 см.
Ответ: 77 см² и 36 см.

2. Периметр квадрата 32 дм.
a = 32 ÷ 4 = 8 дм; S = 8² = 64 дм².
Ответ: 64 дм².

3. Площадь прямоугольника 90 м², длина 15 м.
b = 90 ÷ 15 = 6 м; P = 2 · (15 + 6) = 42 м.
Ответ: ширина 6 м, периметр 42 м.

Полезный порядок проверки: сначала оцени размер ответа, затем проверь формулу и единицы. В задачах посложнее похожие вычисления встречаются в задании 10 ОГЭ по математике. Если хочется решать регулярно, зайди в личный кабинет и используй бесплатную практику.

Типичная ошибка — дать только число без пояснения. Запиши, что именно найдено: площадь, сторона или периметр.

6. Что запомнить

Прямоугольник имеет две пары равных сторон. Его периметр — P = 2 · (a + b), площадь — S = a · b. У квадрата одна сторона обозначается a: P = 4 · a, S = a². Периметр измеряют обычными единицами длины, площадь — квадратными.

Перед решением выдели ключевые слова. «Огородить», «обвести», «лента» подсказывают периметр. «Покрыть», «засеять», «занимает» указывают на площадь. В обратной задаче не угадывай действие: вырази неизвестную сторону из подходящей формулы.

Мини-памятка:
Прямоугольник: P = 2 · (a + b), S = a · b
Квадрат: P = 4 · a, S = a²
Проверка: единицы и смысл ответа

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого ответа объясни себе, почему выбрана именно эта формула.

Не торопись: аккуратный рисунок, формула, вычисление и единица измерения почти всегда приводят к верному решению. Ошибку легче найти, если каждый шаг записан отдельно.