Задание 10 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 10

В задании 10 просят найти вероятность простого события — например, что выпадет чёткое число очков или что вынутый шар окажется синим. Ответ — число от 0 до 1. Формулировки и набор сюжетов могут немного меняться от года к году, поэтому перед тренировкой сверься с актуальной демоверсией ФИПИ.

Задача кажется «не математикой», а лотереей, но это не так: вероятность считается строго, по одной формуле, и почти все экзаменационные сюжеты сводятся к трем-четырём шаблонам, которые мы сейчас разберём.

Формула вероятности

Классическое определение вероятности: делим число благоприятных исходов на число всех равновозможных исходов.

P = mn = благоприятные исходы / все исходы

Здесь n — все исходы опыта, m — те из них, при которых событие наступило. Вероятность всегда лежит от 0 до 1: ноль значит, что событие невозможно, единица — что оно достоверно. Если у тебя получилось, например, 1,5 — где-то перепутаны числитель и знаменатель.

Всё задание 10 — это умение правильно выписать m и n. Разберём, как это делать, на трёх классических примерах.

Пример 1. Кубик

Игральный кубик имеет шесть граней, и при честном броске каждая выпадает равновозможно.

1. Пример: найди вероятность того, что выпадет чётное число очков.
2. Все исходы: числа от 1 до 6, значит n = 6.
3. Благоприятные: 2, 4 и 6, значит m = 3.
4. Считаем: P = 3/6 = 0,5.
5. Ответ: 0,5.

Прикидка: половина граней чётные, так что ответ «половина» выглядит правдоподобно. Такая сверка со здравым смыслом занимает секунды и защищает от ошибок вроде 3/6 = 3 (перепутал деление с сокращением «на глаз»).

Пример 2. Монета

Одна монета скучна: там всего два исхода, орёл и решка, и вероятность каждого равна 0,5. Интерес появляется, когда монету бросают дважды.

1. Пример: монету бросают дважды. Найди вероятность того, что оба раза выпадет орёл.
2. Выписываем все исходы: ОО, ОР, РО, РР — их четыре, значит n = 4.
3. Благоприятный один: ОО, значит m = 1.
4. Считаем: P = 1/4 = 0,25.
5. Ответ: 0,25.

Здесь главная идея — именно выписать исходы списком, а не пытаться угадать. Заметь: ОР и РО — это разные исходы, потому что первый и второй бросок различаются. Если хочешь «хотя бы один орёл», благоприятными станут ОО, ОР и РО — три исхода, и P = 3/4 = 0,75.

Пример 3. Шары

Классический сюжет: в урне смешаны шары двух цветов, один шар вынимают наугад.

1. Пример: в урне 5 красных и 3 синих шара. Найди вероятность того, что вынутый шар окажется синим.
2. Считаем все шары: 5 + 3 = 8, значит n = 8.
3. Благоприятные — синие: m = 3.
4. Считаем: P = 3/8 = 0,375.
5. Ответ: 0,375.

Типичная деталь условия: вынули один шар, а потом из оставшихся — второй. Тогда на втором шаге общее число шаров уже на один меньше, и это нужно учитывать: пересчитывай n заново, а не тащи старое значение.

Противоположное событие

Иногда проще посчитать шанс того, что событие НЕ наступит, а потом вычесть из единицы.

P(не A) = 1 − P(A)

1. Пример: в урне из нашего прошлого примера вероятность вынуть синий шар 0,375.
2. Событие «не синий» — противоположное: P = 1 − 0,375 = 0,625.
3. Проверка: красных шаров 5 из 8, то есть 5/8 = 0,625. Сходится.

Приём спасает в задачах про «хотя бы один»: перебор всех подходящих исходов бывает длинным, а противоположное событие часто описывается одной фразой — «ни одного».

Типичные ошибки

Задание 10 редко бывает сложным — чаще ошибаются в учёте исходов. Вот список, на чём спотыкаются чаще всего:

• перепутаны числитель и знаменатель: делят все исходы на благоприятные, а не наоборот;
• в n забыли часть исходов: у двух бросков монеты их четыре, а не три;
• ОР и РО посчитали как один исход — броски различаются, и это разные исходы;
• вероятность оставили дробью: в бланк записывают число, поэтому 3/8 переводят в 0,375;
• в задачах с двумя шарами не пересчитали n после того, как один шар вынули.

Противоядие одно: список исходов на бумаге. Пока исходы не выписаны, кажется, что можно держать их в голове; после выписывания половина ошибок просто исчезает.

Задание 10 — самый «дешёвый» способ получить балл в первой части ОГЭ: одна формула, немного аккуратности и привычка выписывать исходы. Теория за этим стоит большая и интересная — она разобрана в отдельной статье про теорию вероятностей для ОГЭ и ЕГЭ. А чтобы закрыть всю первую часть, разбери соседнее задание 9 про уравнения и задачи на проценты — они идут в одном комплекте с тренажёром. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.