Просто УрокУпрощение выражений: как раскрывать скобки: задачи с решениями и ответами
Многие пятиклассники теряют баллы не потому, что не выучили правило, а потому, что путают знаки перед скобками. Смотришь на выражение 5 · (3 + 4) — вроде всё просто, но появляется минус, и ответ становится противоположным. Знакомая боль?…
Почему без раскрытия скобок не обойтись
Многие пятиклассники теряют баллы не потому, что не выучили правило, а потому, что путают знаки перед скобками. Смотришь на выражение 5 · (3 + 4) — вроде всё просто, но появляется минус, и ответ становится противоположным. Знакомая боль? Тогда давай разберём распределительное свойство по шагам и отработаем его на задачах с решениями и ответами.
Скобки — это подсказка: сначала выполни действие внутри. Но если внутри буквы или несколько слагаемых, считать в лоб неудобно и долго. Тут и включается распределительное свойство: множитель перед скобкой «раздаёт» себя каждому слагаемому внутри. Громоздкая запись превращается в понятную цепочку, которую легко посчитать устно и почти невозможно испортить.
Зачем это уже в 5 классе? Потому что дальше будут уравнения, а в 9 классе — задание 11 ОГЭ по математике, где без аккуратного раскрытия скобок не решается почти ничего. Освоив правило сейчас, ты сэкономишь себе часы на экзамене. К тому же это умение считается базовым: его проверяют почти в каждой контрольной.
Распределительное свойство: главное правило
Формулировка короткая: чтобы умножить число на сумму, умножь это число на каждое слагаемое и сложи результаты. Для разности правило то же самое, только вместо плюса появится минус. В буквах запись выглядит так.
a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b − c) = a · b − a · c
Проверим на числах: 6 · (20 + 3) = 6 · 20 + 6 · 3 = 120 + 18 = 138. Контроль: 20 + 3 = 23, а 6 · 23 = 138. Ответы совпали — правило работает. Такой обратный расчёт очень полезен: он ловит ошибку сразу, ещё до проверки учителем, и приучает тебя думать, а не угадывать.
Если слагаемых три, множитель всё равно умножается на каждое: 4 · (10 + 2 + 5) = 40 + 8 + 20 = 68. Ничего не пропускай и не ленись выписывать промежуточные произведения. Хочешь проверить себя на коротких примерах — открой личный кабинет, там тренировка с мгновенной проверкой ответа.
Как раскрывать скобки: алгоритм и разобранный пример
Держи порядок действий, который снимает почти все ошибки. Первое: найди множитель перед скобкой. Второе: определи знак перед скобкой — плюс или минус. Третье: умножь множитель по очереди на каждое слагаемое. Четвёртое: сложи подобные слагаемые. Пятое: проверь ответ подстановкой удобного числа вместо буквы.
Разберём полный пример: −3 · (2x − 5) + 4 · (x + 3).
−3 · (2x − 5) = −6x + 15
4 · (x + 3) = 4x + 12
−6x + 15 + 4x + 12 = −2x + 27
Обрати внимание на два места. Минус перед первой скобкой сделал оба знака противоположными: было 2x, стало −6x; было −5, стало +15. Вторая скобка стоит со знаком плюс, поэтому знаки сохранились. В конце складываем отдельно буквы и отдельно числа: −6x + 4x = −2x, а 15 + 12 = 27.
Проговаривай вслух: «умножаю на первое, умножаю на второе». Медленно на первых пяти примерах — потом быстро и без ошибок. Ещё добавь подстановку x = 1: если исходное и упрощённое выражения дают одно число, ты решил верно.
Плюс и минус перед скобкой: где прячется ловушка
Если перед скобкой стоит плюс, задача почти решена: скобки убираем, знаки внутри не меняем. 7 + (3 − 5) = 7 + 3 − 5 = 5. Плюс перед скобкой — это умножение на +1, а умножение на единицу ничего не меняет, поэтому знаки остаются на своих местах.
Минус работает иначе: он меняет знак каждого слагаемого на противоположный. 7 − (3 − 5) = 7 − 3 + 5 = 9. Причина простая: минус перед скобкой — это умножение на −1, а −1 · (3 − 5) = −3 + 5. Кто понял эту связь, тот больше не теряет знаки наугад.
Самая частая ошибка — поменять знак только у первого числа: 10 − (2 + 3) = 10 − 2 + 3 = 11. Правильно: 10 − 2 − 3 = 5. Внутри скобки все слагаемые получают противоположный знак.
Проверь себя на примере с буквами: 8 − (x + 4) = 8 − x − 4 = 4 − x. Здесь поменялись знаки у обоих слагаемых, а затем числа 8 и 4 сложились. Если бы мы забыли про минус у четвёрки, ответ получился бы другим — и вся задача пошла бы под откос.
Задачи с решениями и ответами
Задача 1. Вычисли удобным способом: 8 · (12 + 5).
8 · (12 + 5) = 8 · 12 + 8 · 5 = 96 + 40 = 136
Проверка: 12 + 5 = 17, 8 · 17 = 136
Задача 2. Упрости выражение: 5 · (2x + 7) − 3 · (x − 4).
5 · (2x + 7) = 10x + 35
−3 · (x − 4) = −3x + 12
10x + 35 − 3x + 12 = 7x + 47
Задача 3. Раскрой скобки и упрости: 2 · (a + 6) + 4 · (3 − a) = 2a + 12 + 12 − 4a = −2a + 24. Типичная ошибка здесь — потеря множителя при букве: некоторые пишут просто «a» вместо «2a». Ниже короткая таблица для самопроверки.
| Выражение | После раскрытия | Ответ |
|---|---|---|
| 8 · (12 + 5) | 96 + 40 | 136 |
| 5 · (2x + 7) | 10x + 35 | 10x + 35 |
| −3 · (x − 4) | −3x + 12 | −3x + 12 |
| 2 · (a + 6) + 4 · (3 − a) | 2a + 12 + 12 − 4a | −2a + 24 |
Хочешь ещё практики с автоматической проверкой — заходи в личный кабинет: там задания идут от простых к сложным, и ты сразу видишь, где ошибся.
Что запомнить
Выжимка: a · (b + c) = a · b + a · c. Множитель умножается на каждое слагаемое, ничего не пропускаем. Плюс перед скобкой сохраняет знаки, минус — меняет все знаки на противоположные. Буквы и числа складываем отдельно, подобные слагаемые приводим в самом конце.
Три ошибки, которые встречаются чаще всего: умножение только первого слагаемого, смена знака лишь у первого числа после минуса и потеря множителя при буквенном слагаемом. Проверяй себя подстановкой: возьми x = 1 и сравни исходное выражение с упрощённым — числа должны совпасть.
Следующий шаг: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете — короткая тренировка закрепит правило лучше десяти прочитанных абзацев. А если готовишься к экзамену, посмотри разбор задания 18 ЕГЭ по математике (база).
Почему минус перед скобкой меняет знаки у всех слагаемых?
Потому что минус перед скобкой означает умножение на −1, а умножение на −1 даёт противоположное число. Каждое слагаемое внутри умножается на −1, поэтому знаки меняются все, а не только у первого.
Можно ли раскрывать скобки, если внутри три слагаемых?
Да, правило не меняется: множитель умножается на каждое слагаемое по очереди. Например, 4 · (10 + 2 + 5) = 40 + 8 + 20 = 68. Главное — не пропустить ни одного слагаемого внутри.
Что делать, если перед скобкой стоит буква?
Работай так же, как с числом: a · (b + c) = ab + ac. Если множитель равен −x, не забудь про минус: −x · (x + 3) = −x² − 3x. Степень появляется при умножении буквы на ту же букву.
Как закрепить тему после разбора?
Реши 8–10 коротких примеров подряд: сначала только с числами, потом с буквами и минусом перед скобкой. Затем проверь себя подстановкой и вернись к ошибкам через день, чтобы правило осталось в памяти.
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.