Упрощение выражений: как раскрывать скобки

Зачем раскрывать скобки и что это даёт

Бывает так: пример почти решён, а ответ не сходится — и всё из-за одной строчки, где скобку убрали «на глазок». Знакомо? В 5 классе раскрытие скобок — навык, который дальше встречается почти в каждой теме: в уравнениях, в упрощении выражений, в задачах на движение и на проценты. Освоишь его сейчас — дальше алгебра пойдёт заметно спокойнее, без вечного «а тут что делать?».

В этой статье разберём распределительное свойство простыми словами, научимся раскрывать скобки со знаком «плюс» и «минус» перед ними, решим один пример целиком и соберём список ошибок, которые встречаются чаще всего.

Что вообще значит «раскрыть скобки»? Это заменить произведение числа на сумму или разность — суммой или разностью произведений. Проще говоря: убрать скобку и «раздать» множитель каждому слагаемому, которое стоит внутри.

Распределительное свойство: главное правило темы

Правило звучит так: чтобы умножить число на сумму, нужно умножить это число на каждое слагаемое и полученные результаты сложить.

a · (b + c) = a · b + a · c
a · (b − c) = a · b − a · c

Проверим на числах: 6 · (10 + 2) = 6 · 12 = 72, и 6 · 10 + 6 · 2 = 60 + 12 = 72. Результат одинаковый — правило работает.

Теперь с буквами: 5 · (x + 3) = 5x + 15; 4 · (2a − 7) = 8a − 28; 3 · (m + n − 2) = 3m + 3n − 6. Обрати внимание: слагаемых внутри скобки может быть сколько угодно, множитель получает каждое.

Порядок множителей не важен: (b + c) · a = a · b + a · c. Число можно писать и слева, и справа от скобки — смысл не меняется.

Как раскрывать скобки: алгоритм и разобранный пример

Держи алгоритм из пяти шагов: 1) посмотри, что стоит перед скобкой — множитель и знак; 2) умножь множитель на первое слагаемое; 3) умножь на второе (и на третье, если оно есть); 4) аккуратно расставь знаки; 5) приведи подобные слагаемые.

7 · (2a − 3) − 4 · (a + 5)
= 7 · 2a − 7 · 3 − 4 · a − 4 · 5
= 14a − 21 − 4a − 20
= 14a − 4a − 21 − 20
= 10a − 41

Поясним строки. Сначала множитель 7 раздаём каждому слагаемому в первых скобках: 7 · 2a = 14a, 7 · 3 = 21, знак «минус» сохраняем. Затем множитель 4 идёт во вторые скобки, но перед ними стоит минус — значит, знаки внутри меняются: −4 · a = −4a, −4 · 5 = −20.

Проверка: при a = 2 левая часть равна 7 · (4 − 3) − 4 · (2 + 5) = 7 − 28 = −21, а правая 10 · 2 − 41 = −21. Совпало, значит, пример решён верно.

Скобки с плюсом и минусом перед ними

Если перед скобкой стоит плюс (или не стоит ничего), знаки внутри не меняются: x + (3y − 5) = x + 3y − 5.

Если перед скобкой минус, это то же самое, что умножить всё содержимое на −1. Значит, каждый знак внутри переворачивается: x − (3y − 5) = x − 3y + 5.

+(a + b) = a + b
+(a − b) = a − b
−(a + b) = −a − b
−(a − b) = −a + b

Заметь: −(a − b) — это не −a − b, а именно −a + b. Минус на минус даёт плюс, поэтому последнее слагаемое становится положительным.

Частый случай — скрытая единица: −(x + 4) = −x − 4, ведь перед скобкой стоит −1, и каждое слагаемое умножается на него.

Типичные ошибки

Соберём то, из-за чего чаще всего теряются баллы. Сравни свои решения с таблицей.

Ошибка первая: 5 · (x + 3) = 5x + 3 — умножили только первое слагаемое. Вторая: x − (a + 5) = x − a + 5 — забыли поменять знак у второго слагаемого. Третья: 3 + 4 · (x + 2) — сначала умножение, а не сложение. Четвёртая: −(a − b) = −a − b — минус перед скобкой переворачивает все знаки, а не только первый.

Что запомнить

Выжимка короткая. Распределительное свойство: a · (b + c) = a · b + a · c. Множитель перед скобкой умножается на каждое слагаемое внутри. Плюс перед скобкой знаки сохраняет, минус — меняет все на противоположные. После раскрытия обязательно приводим подобные слагаемые, а результат проверяем подстановкой числа.

Дальше всё зависит от практики: чем больше примеров ты решишь своими руками, тем быстрее шаги станут автоматическими. Хорошая тренировка — зарегистрироваться и решить 5 заданий бесплатно: короткие упражнения на раскрытие скобок и приведение подобных дают больше, чем перечитывание правила. Это доступно по ссылке, без оплаты и обязательств.

А когда захочется переключиться на геометрию, посмотри разбор про окружность и касательные. И загляни в материал о том, как устроено задание 3 ЕГЭ по математике — увидишь, куда ведут навыки, которые ты осваиваешь сейчас.