Задание 3 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что проверяет задание 3

Задание 3 — первая стереометрическая задача экзамена. Она входит в часть 1 профильного ЕГЭ, ответ краткий: целое число или конечная десятичная дробь. Формулировки обычно короткие: перед тобой куб, призма, цилиндр, конус или пирамида с известными размерами — нужно найти объём или выяснить, как он изменится, если размеры поменять. Внутри сюжета могут прятаться переливания жидкости и сечения.

Проверяют здесь две вещи: знаешь ли ты формулы объёмов и умеешь ли видеть, как размеры тела связаны друг с другом. Развёрнутого оформления не требуется — но и подглядывать некуда, формулы должны сидеть в памяти.

Один нюанс: точная типизация заданий от года к году может меняться, поэтому перед тренировками свери тип и формат ответа с актуальной демоверсией ФИПИ.

Формулы объёмов, которые нужны

Вот минимальный набор для задания 3 — семь формул, которые стоит знать наизусть.

V куба = a³, V параллелепипеда = abc

V призмы = S·h, V пирамиды = S·h3

V цилиндра = πr²h, V конуса = πr²h3

V шара = 4πr³/3

Самая частая потеря балла — забыть множитель 1/3 у пирамиды и конуса. Вторая ловушка — перепутать объём с площадью поверхности. В задании 3 спрашивают именно объём, а площадь появляется в формулах только как ступенька: S основания стоит в формулах призмы и пирамиды.

Как размеры влияют на объём

Половина сюжетов задания 3 построена на одном приёме: объём пересчитывается, когда размеры тела меняются. Правило звучит так: если все линейные размеры увеличить в k раз, объём вырастет в k³ раз.

размеры ×k → объём ×k³

Логика простая: объём — это произведение трёх линейных величин, и каждая из них умножается на k. Поэтому радиус цилиндра, увеличенный в 2 раза, даёт объём в 2² = 4 раза больше; а если ещё и высоту увеличить в 3 раза — всего в 12 раз. Правило работает и в обратную сторону: уменьшишь ребро куба вдвое — объём упадёт в восемь раз.

Пример решения по шагам

Условие (учебный пример): объём цилиндра равен 4800. Радиус основания увеличили в 2 раза, а высоту — в 3 раза. Найди объём нового цилиндра.

1. Запиши исходный объём: V₁ = πr²h = 4800.
2. Подставь новые размеры: V₂ = π(2r)² · 3h = π · 4r² · 3h = 12πr²h.
3. Сравни с исходным: V₂ = 12 · V₁ = 12 · 4800 = 57600.
4. Ответ: 57600.

Заметь: здесь важнее рассуждение, чем вычисления. Мы не трогали π и не искали радиус — только следили, во сколько раз изменился каждый множитель. Именно так решается большинство задач этого типа.

Сечения и жидкости: два частых сюжета

Сюжет с жидкостью. В цилиндрическом сосуде дно одинаковое на любой высоте, поэтому объём воды относится так же, как высоты уровней: налил в полтора раза больше — уровень стал в полтора раза выше. Если же сосуд сужается или расширяется, как конус, подключается подобие.

Сюжет с сечением. Если плоскость проходит параллельно основанию, она отсекает тело, подобное исходному, а объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Пример: маленькая пирамида подобна большой с коэффициентом 1/2 — её объём равен 1/8 объёма большой. Отсюда и такой факт: если сечение делит высоту конуса пополам, верхний конус несёт лишь 1/8 исходного объёма.

Типичные ошибки и ловушки

• Перепутать k и k³: линейный размер вырос вдвое, а объём — в восемь раз, а не в два.
• Забыть множитель 1/3 у пирамиды и конуса.
• Подставить в формулу диаметр вместо радиуса.
• Считать площадь поверхности, когда просят объём, и наоборот.
• Потерять нули при переходе к другим единицам: длины различаются в разы, а объёмы — в кубе.

И формат ответа: пиши только число, без единиц измерения, если в условии не сказано иное. Точный формат ещё раз сверь с демоверсией ФИПИ.

Стереометрия — сквозная тема: формулы объёмов пригодятся и в задачах второй части, и в ОГЭ. Чтобы освежить базу, загляни в разбор про объёмы и площади тел.

Дальше по номерам: вспомни задание 2 и переходи к заданию 4 — там та же стереометрия, но про расстояния и углы. А если хочешь, чтобы подготовка шла по плану, открой тренажёр ЕГЭ на Просто Уроке — там любую тему объяснят спокойно и по шагам.