Просто УрокОкружность и касательные
Окружность — одна из самых «дорогих» тем геометрии: задачи с касательными и углами стабильно приносят баллы и в ОГЭ, и в ЕГЭ. Разбираем свойства касательных, центральные и вписанные углы, вписанные и описанные окружности — короткими правилами и с разбором типовых задач.
Касательная и её свойства
Касательная — это прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Если общих точек две, прямую называют секущей. Именно из этого определения вырастают все свойства, которые проверяют на экзамене.
Первое свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Это ключевая фраза всей темы — почти в каждой задаче с касательной нужно дорисовать радиус и получить прямоугольный треугольник.
радиус ⊥ касательной в точке касания
Второе свойство: из точки вне окружности можно провести ровно две касательные, и их отрезки до точек касания равны. Центр окружности при этом лежит на биссектрисе угла между ними. Проверь себя: если из точки A проведены касательные AB и AC, то AB = AC — это гарантированный факт, на который можно ссылаться в решении.
Центральный и вписанный углы
Вершина центрального угла находится в центре окружности, а стороны упираются в две её точки. Такой угол равен дуге, на которую опирается: дуга 70° — значит, центральный угол тоже 70°.
центральный угол = дуга
Вершина вписанного угла лежит на самой окружности. Здесь и живёт главная формула темы.
вписанный угол = 12 дуги
Вписанный угол всегда вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу. Из этого следуют два факта. Первый: вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90° — готовый прямой угол в чертеже. Второй: все вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны между собой.
В задачах с углами сразу подписывай дуги градусами на рисунке. Увидел вписанный угол — записывай дугу как двойной угол. Вся техника темы — аккуратная работа с дугами, а не фантастическая интуиция.
Вписанная окружность
Окружность называют вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. В любой треугольник окружность вписать можно, причём только одну. Её центр — точка пересечения биссектрис: он равноудалён от всех сторон треугольника.
S = p · r, где p — полупериметр
Формула связывает площадь треугольника, полупериметр и радиус вписанной окружности. Полезно и обратное: если в четырёхугольник вписана окружность, суммы его противоположных сторон равны — на этом строятся задачи с трапецией.
Описанная окружность
Описанная окружность проходит через все вершины многоугольника. Её центр — точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам: он равноудалён от всех вершин. Вокруг любого треугольника окружность описать можно, а вот вокруг четырёхугольника — только если сумма противоположных углов равна 180°.
Отдельно запомни прямоугольный треугольник: его гипотенуза — это диаметр описанной окружности.
R = c2, где c — гипотенуза
Поэтому центр описанной окружности у прямоугольного треугольника — середина гипотенузы. Это свойство экономит время: достаточно увидеть прямой угол.
Потренируй задачи на окружность
В тренажёре ОГЭ выбери геометрию, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Разбор типовых задач ОГЭ
Задача 1. Центральный угол AOB равен 120°. Найдите вписанный угол ACB, опирающийся на ту же дугу.
- Центральный угол равен дуге, значит дуга AB = 120°.
- Вписанный угол равен половине дуги: 120 / 2 = 60.
- Ответ: 60°.
Задача 2. К окружности с радиусом 5 из точки A проведена касательная AB. Расстояние от A до центра O равно 13. Найдите длину касательной.
- Радиус OB перпендикулярен касательной, значит треугольник AOB прямоугольный.
- По теореме Пифагора: AB² = AO² − OB² = 169 − 25 = 144.
- Ответ: 12.
Обрати внимание, как работает связка «касательная плюс радиус»: появляется прямоугольный треугольник, а дальше включается теорема Пифагора. Разбери этот механизм один раз — и половина задач с касательными решается по накатанной.
Три ловушки темы
Первая ловушка — перепутать, какой угол считать. Если вершина в центре, угол равен дуге; если вершина на окружности — половине дуги. Перед ответом спроси себя: где вершина угла?
Вторая ловушка — в условии дают диаметр, а в формулу нужен радиус. Читай условие дважды: «радиус 10» и «диаметр 10» — это две разные задачи с разными ответами.
Третья ловушка — дуги бывают большие и малые. Вписанный угол опирается на конкретную дугу: если на рисунке их две, выбирай ту, на которую указывают стороны угла.
В любой задаче про окружность первым делом дорисуй радиусы к точкам касания и к вершинам углов. Половина «сложных» чертежей после этого превращается в обычные треугольники.
Окружность редко приходит на экзамен в одиночку: её связывают с треугольниками и площадями. Дальше по теме помогут статьи про треугольники и площади фигур — там собраны формулы, без которых задачи с окружностью не решаются.
Свойства касательных, счёт углов по дугам и центры вписанной и описанной окружностей — этого достаточно, чтобы геометрия перестала быть лотереей. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Чем касательная отличается от секущей?
Касательная имеет с окружностью ровно одну общую точку, секущая — две. Из точки вне окружности можно провести ровно две касательные, и их отрезки до точек касания равны.
Чему равен вписанный угол?
Половине дуги, на которую он опирается, то есть половине соответствующего центрального угла. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
В любой ли треугольник можно вписать окружность?
Да, в любой, и ровно одну. Её центр — точка пересечения биссектрис, а радиус связан с площадью формулой S = p · r, где p — полупериметр треугольника.
Где центр описанной окружности у прямоугольного треугольника?
В середине гипотенузы: гипотенуза является диаметром описанной окружности, поэтому её длина равна двум радиусам.
Что делать с касательной в задаче ОГЭ?
Провести радиус в точку касания: он перпендикулярен касательной. Появится прямоугольный треугольник, и дальше обычно работает теорема Пифагора.