Решение задач с помощью уравнений

Почему задача «не идёт» и при чём тут уравнение

Знакомая картина: читаешь условие три раза, вроде всё понятно, а с чего начать — непонятно. Рука тянется угадать ответ, он не сходится, и настроение падает. Между тем почти любая текстовая задача в 6 классе решается одним и тем же способом — уравнением. Оно превращает задачу с подвохом в спокойную цепочку шагов: ввести переменную, записать условие на языке математики, решить, вернуться к вопросу. Смысл не в скорости счёта, а в том, чтобы не держать всё в голове сразу. Сегодня разберём, как выбирать неизвестное, как составлять уравнение, где чаще всего теряются баллы и как проверять ответ. Умение работать с неизвестным пригодится и дальше: в старших классах текстовые задачи никуда не исчезают. Потренироваться можно сразу: бесплатные задания с проверкой ждут тебя, если зарегистрироваться в личном кабинете.

Что такое уравнение и как выбрать неизвестное

Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое нужно найти. Обозначаем его буквой, чаще всего x. Решить уравнение — значит найти такое значение x, при котором равенство станет верным; это значение называют корнем. Но в задачах главное не решить, а составить: перевести русские фразы в математические знаки. «Больше на 5» — это x + 5, «меньше на 7» — x − 7, «в 3 раза больше» — 3x, «в 4 раза меньше» — x ÷ 4. Слова «всего», «сумма», «вместе» почти всегда подсказывают знак равенства. Например, задумали число, умножили на 4 и получили 52: x · 4 = 52, значит x = 13. За x удобно брать то, о чём спрашивают в задаче, или самую маленькую из неизвестных величин — тогда остальные выражаются через него без дробей. Сравнивать разные приёмы решения удобно на практике, а не в теории.

Порядок действий: пять шагов

Чтобы решение не рассыпалось, держись одного порядка. Шаг 1: прочитай условие и определи, что неизвестно. Шаг 2: обозначь неизвестное буквой и подпиши словами, что она значит. Шаг 3: вырази через x остальные величины. Шаг 4: составь уравнение по фразе, где величины связаны между собой. Шаг 5: реши уравнение, ответь на вопрос задачи и проверь результат по смыслу.

Полезно держать под рукой таблицу перевода — сначала подсматривай, потом она запомнится сама.

Перевод фраз — навык, который пригодится и на экзаменах: похожие приёмы нужны в задании 10 ЕГЭ по математике профильного уровня, где условие тоже приходится аккуратно превращать в формулы. И ещё одно: проверка — не формальность. Подставь найденное число в условие и убедись, что все фразы стали верными.

Разбираем задачу целиком

Условие. В двух корзинах 42 яблока, причём в первой корзине в 2 раза больше яблок, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?

За x возьмём число яблок во второй корзине: это меньшая величина, и именно про неё спрашивают. Тогда первая корзина — это 2x, а вместе получается 42. Записываем всю цепочку по шагам.

Пусть x — яблок во второй корзине.
Тогда в первой корзине 2x яблок.
Всего яблок: x + 2x = 42.
Приводим подобные: 3x = 42.
Делим обе части на 3: x = 42 ÷ 3.
x = 14.
Во второй корзине 14 яблок.
В первой корзине: 2 · 14 = 28 яблок.
Проверка: 28 + 14 = 42, а 28 ÷ 14 = 2 — условие выполнено.
Ответ: 14 яблок и 28 яблок.

Обрати внимание на главный момент: уравнение дало значение x, а не ответ задачи. Ответ появляется только после того, как ты вернулся к вопросу и посчитал вторую величину. Если чувствуешь, что составлять уравнения пока тяжело, начни с коротких задач и постепенно усложняй их — так навык закрепляется быстрее, чем при разборе сразу сложных условий.

Типичные ошибки

Ошибка первая: буква без подписи. Ты обозначил что-то за x, но не записал, что именно, и через две строки сам запутался. Ошибка вторая: путаница «на» и «в» — из-за неё вместо x + 4 появляется 4x. Ошибка третья: ответ не на тот вопрос — найдено значение x, а в ответ уходит именно оно, хотя спрашивали про другую величину. Ошибка четвёртая: забытая проверка, из-за которой неверный корень остаётся незамеченным. Наконец, ошибки при переносе слагаемых: при переходе через знак равенства знак меняется на противоположный, и это правило стоит повторять. Простые задачи из задания 2 ОГЭ по математике устроены похожим образом: сначала перевод условия, потом аккуратные вычисления. Здесь работают те же привычки.

Что запомнить

Держи в голове главное: задача через уравнение решается по одному и тому же плану, и он не меняется от сюжета. Обозначь неизвестное и подпиши его словами. Вырази остальные величины через x. Составь уравнение по фразе, где всё связано. Реши его, вернись к вопросу задачи, сделай проверку. Следи за словами «на» и «в»: первое — про сложение и вычитание, второе — про умножение и деление. Не оставляй ответ без проверки и не забывай, что корень уравнения и ответ задачи — не всегда одно и то же число. И помни: скорость приходит с количеством решённых задач, а не с чтением правил. Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно — с проверкой и разбором ошибок. Так теория закрепится за один вечер.