Числовые выражения и выражения с переменными: контрольная работа с ответами

Что проверяет контрольная по выражениям с переменными

Ты открываешь контрольную, видишь задание «найди значение выражения 3a − 2b при a = 4, b = −1» и вроде бы помнишь правило, но всё равно сомневаешься. Знакомая картина: тему проходили, домашку делали, а на проверочной баллы уходят на пустяках — забыл порядок действий, потерял минус, не выписал допустимые значения. Обидно, когда дело не в непонимании, а в невнимательности.

Эта статья — мини-тренажёр перед контрольной работой по теме «Числовые выражения и выражения с переменными» в 7 классе. Разберём по шагам, что от тебя хотят в каждом типе заданий, посмотрим полное решение с ответами, соберём типичные ошибки в одном месте и потренируемся на примерах.

Удобный порядок работы такой: сначала вспомни теорию по коротким блокам, затем проверь себя по таблице заданий и только после этого переходи к практике. Если хочешь закрепить сразу, открывай личный кабинет и решай похожие задания с автоматической проверкой.

Числовые выражения: считаем без букв

Числовое выражение состоит только из чисел и знаков действий, поэтому у него всегда ровно одно значение. Например, 18 : 3 + 2 · (7 − 4)² — это числовое выражение, и его можно вычислить до конца, не оставляя букв в ответе.

Порядок действий простой: сначала скобки, затем возведение в степень, потом умножение и деление слева направо, и только в конце сложение и вычитание. Ошибка №1 у семиклассников — считать «как удобно», перескакивая через эти правила.

18 : 3 + 2 · (7 − 4)² =
= 18 : 3 + 2 · 3² =
= 18 : 3 + 2 · 9 =
= 6 + 18 = 24

Заметь: если выполнить умножение раньше степени или сложение раньше деления, ответ получится другим. Ограничения на деление и корни тоже родом из числовых выражений — подробнее о подобных условиях читай в статье про числовые неравенства и промежутки.

Выражения с переменными и допустимые значения

Выражение с переменной не имеет числового значения, пока ты не подставишь вместо букв конкретные числа. Задание «найди значение выражения 5x − 3y + 2 при x = 2, y = −1» решается подстановкой: аккуратно ставим числа на место букв, сохраняя знаки и восстанавливая пропущенное умножение.

5x − 3y + 2, где x = 2, y = −1:
= 5 · 2 − 3 · (−1) + 2 =
= 10 + 3 + 2 = 15

Отдельная тема — допустимые значения переменной. Если есть деление, знаменатель не должен обращаться в ноль: в выражении 7 : (a − 4) переменная a не может быть равна 4. Если есть квадратный корень, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: в √(x − 6) требуется x ≥ 6.

Типичная ошибка — написать ответ «15» там, где спрашивают, при каких значениях выражение вообще имеет смысл. Второй частый промах — потерять минус при подстановке отрицательного числа: 3 · (−1) превращается в 3, и ответ уезжает на 6 единиц.

Тождественные преобразования: скобки и подобные

Упростить выражение — значит заменить его тождественно равным, то есть таким, которое даёт те же значения при любых допустимых значениях переменных. Главные инструменты в 7 классе: раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых и формулы сокращённого умножения.

3(2a − 5) − (a − 4) + 2a =
= 6a − 15 − a + 4 + 2a =
= (6a − a + 2a) + (−15 + 4) =
= 7a − 11

Проверить себя легко: подставь в исходное и в упрощённое выражение одно и то же число, например a = 1. Должно получиться одинаково: 3 · (2 − 5) − (1 − 4) + 2 = −9 + 3 + 2 = −4 и 7 · 1 − 11 = −4. Совпало — преобразование верное. Такой самоконтроль спасает на контрольной, где времени на полную перепроверку нет.

Ключевая ошибка — минус перед скобкой: он меняет знак у каждого слагаемого внутри. Ещё одна — сложение «разных» слагаемых, когда 2a и 3 превращают в 5a. Похожие навыки работы с выражениями проверяются и на экзамене, поэтому полезно заглянуть в разбор задания 17 ЕГЭ по математике (база).

Контрольная работа: вариант с ответами и полным разбором

Ниже — типовой вариант из шести заданий. Попробуй сначала решить сам, закрыв правый столбец, а потом сверься. Такая тренировка даёт больше, чем простое чтение готовых решений.

Разберём шестое задание полностью. Упростите 4(2x − 3) − 3(x − 5) + x и найдите значение при x = −2.

4(2x − 3) − 3(x − 5) + x =
= 8x − 12 − 3x + 15 + x =
= (8x − 3x + x) + (−12 + 15) =
= 6x + 3
При x = −2: 6 · (−2) + 3 = −12 + 3 = −9

Порядок здесь принципиален: сначала упрощаем, потом подставляем. Если подставить сразу, получится больше вычислений и больше шансов ошибиться в знаке. Типичная ошибка — распределить множитель только на первое слагаемое в скобке или перепутать знак при раскрытии второй скобки. Хочешь прогнать ещё десяток похожих примеров — заходи в тренажёр, там задания идут с пошаговой подсказкой.

Что запомнить перед контрольной

Выжимка короткая. Числовое выражение считается по порядку действий и даёт одно число. Выражение с переменной получает значение только после подстановки. Допустимые значения ищутся там, где есть деление или корень. Упрощение — это тождественная замена, которую всегда можно проверить подстановкой одного-двух чисел.

Держи в голове три «стоп-точки»: знак минус перед скобкой, порядок действий со степенью, ограничение на ноль в знаменателе. Именно на них чаще всего теряются баллы в контрольной работе с ответами, хотя все правила ты уже знаешь.

Следующий шаг — не перечитывать теорию, а сделать пять заданий своими руками. Зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: проверка покажет, где именно вылезает ошибка, а разбор объяснит каждый шаг.