Квадрат суммы и квадрат разности

Почему без квадрата суммы не обойтись

Ты открываешь учебник, видишь запись (a + b)² и думаешь: «Что с этим вообще делать?» А на контрольной начинаешь перемножать всё по кусочкам, путаешь знаки и теряешь баллы. Знакомая история? Квадрат суммы — это не страшная формула из учебника, а рабочий инструмент, который экономит время и убирает половину вычислительных ошибок.

Формулы сокращённого умножения остаются с тобой надолго: в 8 классе ты раскладываешь многочлены на множители, в 9 — решаешь квадратные уравнения и строишь параболы. По сути, это первый «ускоритель» в алгебре: длинное умножение превращается в короткую запись из трёх слагаемых, которую видно с первого взгляда.

Если база пока шатается, посмотри статью про среднюю скорость — там на простых задачах видно, как одна формула работает в разных ситуациях. Похожий приём «одна связка вместо десяти действий» разобран в шпаргалке по тригонометрии. А потренироваться можно в личном кабинете, где задания подбираются по уровню.

Формула квадрата суммы и её смысл

Запись выглядит так: (a + b)² = a² + 2ab + b². Читается словами: квадрат первого слагаемого, плюс удвоенное произведение первого на второе, плюс квадрат второго. Все три слагаемых идут с плюсом — это главная примета квадрата суммы.

(a + b)² = a² + 2ab + b²
(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b²
ab + ba = 2ab → (a + b)² = a² + 2ab + b²
Пример: (x + 5)² = x² + 2 · x · 5 + 5² = x² + 10x + 25

Откуда берётся «удвоенное»? Просто раскрой скобки: произведение (a + b)(a + b) даёт четыре слагаемых, но ab и ba равны, поэтому они складываются в 2ab. Есть и геометрический смысл: квадрат со стороной (a + b) разрезается на квадрат a², квадрат b² и два одинаковых прямоугольника со сторонами a и b.

Квадрат разности: одна деталь меняет всё

Квадрат разности отличается от квадрата суммы ровно одним знаком: (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадраты первого и второго слагаемых снова с плюсом, а удвоенное произведение берётся со знаком «минус».

(a − b)² = a² − 2ab + b²
Пример 1: (x − 7)² = x² − 2 · x · 7 + 7² = x² − 14x + 49
Пример 2: (2a − 3b)² = 4a² − 12ab + 9b²
Проверка: (5 − 3)² = 4, а 25 − 30 + 9 = 4 ✓

Проверка на числах — лучший способ убедиться, что знак не потерян. Подставь вместо букв простые значения и посчитай обе части: если результаты совпали, формула применена верно. Такой самоконтроль занимает десять секунд, а спасает целую задачу.

Запомни ещё одно: (a − b)² и (b − a)² дают одинаковый результат, потому что квадрат «съедает» минус. А вот (a − b)² и a² − b² — совершенно разные выражения, и путать их нельзя.

Разбираем пример целиком

Упростим выражение (3a + 4b)² − (3a − 4b)². Сначала раскрываем каждую скобку по своей формуле, затем аккуратно вычитаем и приводим подобные слагаемые.

Шаг 1. (3a + 4b)² = (3a)² + 2 · 3a · 4b + (4b)² = 9a² + 24ab + 16b²
Шаг 2. (3a − 4b)² = (3a)² − 2 · 3a · 4b + (4b)² = 9a² − 24ab + 16b²
Шаг 3. Вычитаем: 9a² + 24ab + 16b² − (9a² − 24ab + 16b²)
Шаг 4. Раскрываем скобку: 9a² + 24ab + 16b² − 9a² + 24ab − 16b²
Ответ: 48ab

Обрати внимание на шаг 4: минус перед скобкой меняет знак у всех трёх слагаемых. Поэтому 9a² и 16b² сократились, а 24ab и 24ab сложились. Именно так формула делает грязную работу за тебя и оставляет короткий красивый ответ. Хочешь закрепить навык на похожих заданиях — загляни в личный кабинет, там примеры идут от простых к сложным.

А таблица ниже поможет быстро вспомнить, где какой знак и как выглядит числовая проверка.

Типичные ошибки семиклассников

Ошибка первая и самая частая — «раздать» квадрат каждому слагаемому: написать (a + b)² = a² + b². Это неверно, пропадает целое слагаемое 2ab. Проверь на числах: (3 + 4)² = 49, а 3² + 4² = 25. Разница огромная, и на контрольной её точно заметят.

Ошибка вторая — знак. В квадрате разности минус стоит только у удвоенного произведения, а не у всего выражения. Запись x² − 2x + 49 неверна, правильно x² − 14x + 49: удваиваем именно произведение, а не один множитель.

Ошибка третья — забыть возвести в квадрат оба множителя внутри слагаемого. В примере (3a + 4b)² первый член равен 9a², а не 3a², и второй равен 16b², а не 4b². Квадрат применяется и к числу, и к букве.

Ошибка четвёртая — перепутать (a − b)² и a² − b². Первое даёт три слагаемых, второе раскладывается на множители (a − b)(a + b).

Что запомнить

Главное на этом уроке — две короткие записи: (a + b)² = a² + 2ab + b² и (a − b)² = a² − 2ab + b². Квадраты слагаемых всегда с плюсом, а знак удвоенного произведения совпадает со знаком внутри скобки.

Порядок работы всегда один: возведи в квадрат первый член, прибавь или отними удвоенное произведение, прибавь квадрат второго. Сомневаешься — подставь числа и проверь обе части выражения.

Следующий шаг за тобой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — тренажёр сразу покажет, где ты ещё спотыкаешься. Дальше будет проще: эти же формулы встретятся при разложении на множители и в задачах на движение.