Шпаргалка: тригонометрия

1. Что нужно знать о тригонометрии

Тригонометрия часто пугает не сложностью, а количеством формул: синус, косинус, тангенс, углы, знаки и преобразования смешиваются в одну задачу. Эта шпаргалка поможет разложить тему по шагам: вспомнить определения, быстро выбрать нужную формулу и проверить ответ. А если в задаче встретятся проценты, повтори приём на примерах из раздела задач на проценты: внимательная работа с условиями нужна и там, и в тригонометрии.

В прямоугольном треугольнике относительно острого угла α есть гипотенуза, противолежащий и прилежащий катеты. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и всегда самая длинная. Основные определения такие:

sin α = противолежащий катет / гипотенуза
cos α = прилежащий катет / гипотенуза
tg α = противолежащий катет / прилежащий катет
ctg α = прилежащий катет / противолежащий катет

Запомни подсказку: «синус — против гипотенузы, косинус — рядом с гипотенузой». Тангенс и котангенс связывают два катета. Эти отношения зависят только от угла, а не от размера треугольника.

2. Главные формулы и значения

Базовое тождество связывает синус и косинус одного угла:

\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \)
tg α = sin α / cos α, если cos α ≠ 0
ctg α = cos α / sin α, если sin α ≠ 0

Из первого равенства можно найти неизвестное значение. Например, если sin α = ¾ и угол острый, то cos² α = 1 − ⁹⁄₁₆ = ⁷⁄₁₆, значит cos α = √7 / 4. Минус перед корнем для острого угла не выбирают.

Угол	0°	30°	45°	60°	90°
sin	0	½	√2 / 2	√3 / 2	1
cos	1	√3 / 2	√2 / 2	½	0

Для тангенса стандартные значения: tg 30° = √3 / 3, tg 45° = 1, tg 60° = √3. Если нужно потренироваться вычислять доли и отношения, полезно открыть подборку задач на проценты и следить за тем, что именно является целым.

3. Знаки и формулы приведения

На координатной окружности знак функции зависит от четверти. В первой четверти положительны все функции. Во второй положителен только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус. Эта последовательность помогает не заучивать четыре отдельные таблицы.

\( I: \sin \alpha > 0, \cos \alpha > 0, \tg \alpha > 0 \)
\( II: \sin \alpha > 0, \cos \alpha < 0, \tg \alpha < 0 \)
\( III: \sin \alpha < 0, \cos \alpha < 0, \tg \alpha > 0 \)
\( IV: \sin \alpha < 0, \cos \alpha > 0, \tg \alpha < 0 \)

Формулы приведения работают по плану: сначала определи знак в нужной четверти, затем замени функцию на софункцию, если угол содержит 90° ± α или 270° ± α. Синус и косинус при переходе меняются местами, тангенс и котангенс тоже. Например, cos(90° − α) = sin α, а sin(180° − α) = sin α.

4. Как решать уравнения

Сначала приведи уравнение к одной функции и одному аргументу. Затем выпиши общий вид решения, а уже после наложи ограничения из условия. Для синуса и косинуса удобно использовать окружность:

\( \sin x = a \to x = (-1)ⁿ \arcsin a + 180^\circ n, n \in Z \)
\( \cos x = a \to x = \pm \arccos a + 360^\circ n, n \in Z \)
\( \tg x = a \to x = \arctg a + 180^\circ n, n \in Z \)

Если требуется решить уравнение на отрезке, подставь целые значения n и оставь только подходящие корни. Помни область значений: −1 ≤ sin x ≤ 1 и −1 ≤ cos x ≤ 1. Поэтому уравнения sin x = 1,4 или cos x = −2 в действительных числах решений не имеют.

В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на коротких заданиях: после каждого ответа возвращайся к формуле и отмечай, на каком шаге появилась ошибка.

5. Разобранный пример и ошибки

Решим уравнение 2sin x − √3 = 0 на отрезке [0°; 360°]. Сначала освобождаем синус, затем отмечаем на окружности два угла с нужным значением.

\( 2sin x - \sqrt{3} = 0 \)
\( 2sin x = \sqrt{3} \)
\( \sin x = \sqrt{3} / 2 \)
x = 60° или x = 120° на отрезке [0°; 360°]
Ответ: x = 60°; 120°

Почему других корней нет? В указанном промежутке синус равен √3 / 2 только в первой и второй четвертях. Запись общего решения здесь не обязательна, потому что условие уже ограничивает отрезок.

Типичные ошибки: перепутать градусы и радианы; забыть второй корень у синуса; потерять знак в третьей или четвёртой четверти; применить формулу тангенса там, где косинус равен нулю; выбрать −√7 / 4 для косинуса острого угла. Проверяй результат обратной подстановкой или по координатной окружности.

6. Что запомнить

Главная схема такова: определи стороны или функцию, выбери формулу, проверь допустимые значения, найди знак и только потом вычисляй. Для прямоугольного треугольника держи рядом определения sin, cos, tg и ctg. Для уравнений не забывай периодичность и границы отрезка. Для преобразований сначала разбирай угол, затем знак и софункцию.

Если формулы пока не держатся в памяти, не перечитывай их бесконечно: закрой шпаргалку и реши несколько коротких примеров. Зарегистрируйся в личном кабинете, реши 5 заданий бесплатно и отметь, какие типы задач требуют повторения. Такой следующий шаг поможет превратить список формул в рабочий навык.

Перед контрольной проверь три вещи: режим калькулятора, единицы измерения угла и полноту ответа. Даже простая проверка по окружности часто обнаруживает потерянный корень.