Просто УрокРазность квадратов: формула и применение: задачи с решениями и ответами
Ты решаешь домашку, видишь 25x² − 64 и думаешь: «И как это раскладывать?» Ситуация знакомая. Хорошая новость: есть формула, которая превращает такое выражение в аккуратное произведение за пару секунд. Разберём её по шагам, проверим на чи…
Разность квадратов: формула, которая экономит время
Ты решаешь домашку, видишь 25x² − 64 и думаешь: «И как это раскладывать?» Ситуация знакомая. Хорошая новость: есть формула, которая превращает такое выражение в аккуратное произведение за пару секунд. Разберём её по шагам, проверим на числовых примерах и соберём ошибки, из-за которых теряются баллы.
Формула разности квадратов выглядит так: a² − b² = (a − b)(a + b). Читается просто: разность квадратов двух выражений равна произведению их разности и суммы. Работает она в обе стороны — и как разложение на множители, и как быстрый способ перемножить.
a² − b² = (a − b)(a + b)
(a − b)(a + b) = a² + ab − ab − b²
ab и −ab взаимно уничтожаются
остаётся a² − b²
Пример: x² − 9 = (x − 3)(x + 3), ведь 9 = 3².
Частая ошибка — путать разность квадратов с квадратом разности: (a − b)² = a² − 2ab + b². Там три слагаемых, а у нас два множителя. Проверяй подстановкой: при a = 5, b = 2 слева 25 − 4 = 21, справа 3 · 7 = 21 — сходится.
Формула в обе стороны: раскладываем и сворачиваем
Главный навык — замечать «квадрат минус квадрат», даже когда он замаскирован. Выучи квадраты чисел: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Полезно помнить и дробные: 0,25 = 0,5², 0,09 = 0,3², ¼ = (½)².
Ниже таблица с типичными выражениями: посмотри, как одно правило работает с разными буквами и коэффициентами.
| Выражение | Что такое a и b | Разложение |
|---|---|---|
| x² − 49 | a = x, b = 7 | (x − 7)(x + 7) |
| 4m² − 9 | a = 2m, b = 3 | (2m − 3)(2m + 3) |
| 0,25y² − 1 | a = 0,5y, b = 1 | (0,5y − 1)(0,5y + 1) |
| a⁴ − b² | a = a², b = b | (a² − b)(a² + b) |
Перед разложением вслух назови, что именно ты берёшь за a и за b. Одна секунда на этот шаг убирает половину ошибок со знаками и коэффициентами.
Разложение проверяй умножением: (2m − 3)(2m + 3) = 4m² − 9. Вернулось исходное выражение — значит, всё верно. Хочешь больше коротких тренировок с мгновенной проверкой — загляни в личный кабинет школы.
Ошибка новичка — написать x² − 16 = (x − 4)² или взять 4m² = (4m)². Квадрат первого члена — это (2m)², не забывай двойку.
Разность квадратов в устном счёте
Формула отлично экономит время в вычислениях. Нужно умножить 53 · 47? Заметь: 53 = 50 + 3, а 47 = 50 − 3.
53 · 47 = (50 + 3)(50 − 3)
= 50² − 3² = 2500 − 9
= 2491
Тот же приём: 102 · 98 = (100 + 2)(100 − 2) = 10000 − 4 = 9996. И ещё: 63 · 57 = (60 + 3)(60 − 3) = 3600 − 9 = 3591.
Ошибка здесь такая: берут пару чисел без общего центра, например 54 и 47, и пытаются подогнать середину 50,5. Формально формула применима, но дроби усложняют счёт — выгода исчезает. Ищи пару, у которой сумма делится на два без остатка.
Ещё один приём: 19 · 21 = (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399. Идеально для проверки себя перед контрольной.
Уравнения и упрощения с разностью квадратов
Уравнение x² − 81 = 0 решается в одну строку: произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель нулевой.
x² − 81 = 0
x² − 9² = 0
(x − 9)(x + 9) = 0
x = 9 или x = −9
В упрощениях формула помогает сократить громоздкое выражение: (3x − 4)(3x + 4) − 9x² = 9x² − 16 − 9x² = −16. Заметь, как аккуратно исчез x.
Терять отрицательный корень. Из x² = 81 выходят оба числа: 9 и −9. Второй ответ забывают чаще всего, и именно за него снимают балл.
Если под квадратом стоит целое выражение, ничего не меняется: (a + b)² − c² = ((a + b) − c)((a + b) + c). Роль a играет сумма, а не отдельная буква.
Хочешь проверить, как ты усвоил шаг, — реши несколько уравнений с автопроверкой в личном кабинете, ошибки там видно сразу.
Степени, делимость и связь с другими темами
Формулу можно применять несколько раз подряд: a⁴ − b⁴ = (a² − b²)(a² + b²) = (a − b)(a + b)(a² + b²). Первый множитель снова разложился, последний уже не раскладывается.
Полезный трюк в задачах на делимость: 7¹⁰⁰ − 7⁹⁸ = 7⁹⁸ · (7² − 1) = 7⁹⁸ · 48. Значит, выражение делится на 48. Здесь формула сработала как вынесение общего множителя.
Дальше тема встречается постоянно: она нужна при выводе формулы n-го члена геометрической прогрессии и всплывает в тригонометрии, где удобно свернуть выражения из задания 13 ЕГЭ.
Ошибка: пытаться разложить сумму квадратов. a² + b² на множители так не раскладывается — формулу можно применять только к разности.
Что запомнить
Итог короткий: a² − b² = (a − b)(a + b). Формула работает в обе стороны, буквы a и b — это любые выражения: одночлены, дроби, коэффициенты, целые суммы в скобках. И не путай её с квадратом разности, где три слагаемых.
Порядок действий такой: выпиши квадраты первого и второго члена, определи a и b, запиши произведение, проверь умножением. Эти четыре шага дают верный ответ почти всегда.
Что дальше? Возьми лист, выпиши десять примеров вперемешку — разложение, счёт, уравнение — и реши без подсказок. Затем зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: короткая практика с проверкой запоминается лучше, чем чтение теории. А если тема тригонометрии уже впереди, посмотри разбор уравнения из ЕГЭ — там формула тоже работает.
Регистрация занимает минуту: создать личный кабинет и начать тренировку можно прямо сейчас.
Как закрепить тему после разбора?
Выпиши десять выражений и разложи их: пять простых и пять замаскированных. Проверь себя умножением, потом реши пять заданий с автопроверкой — так навык уходит в автоматизм быстрее, чем от повторного чтения.
Чем разность квадратов отличается от квадрата разности?
Разность квадратов — это a² − b² = (a − b)(a + b), то есть два множителя. Квадрат разности — это (a − b)² = a² − 2ab + b², три слагаемых. Формулы разные, путать их нельзя.
Как понять, что выражение можно разложить по этой формуле?
Ищи два квадрата, между которыми стоит минус. Проверь, извлекается ли корень из каждого члена: 25x² → 5x, 64 → 8. Если да, записывай произведение разности и суммы.
Что делать, если один член — целая сумма в скобках?
Обозначь её за одну букву. Тогда (a + b)² − c² превращается в x² − c², где x = a + b. Дальше работает обычная формула: (x − c)(x + c).
Хочешь понимать предмет уверенно?
Репетитор Просто Урок разбирает сложные темы по шагам и даёт целевые тренировки. Регистрация занимает минуту.