Умножение одночлена на многочлен: контрольная работа с ответами

Что проверяет контрольная по умножению одночлена на многочлен

Ты открываешь тетрадь, видишь длинную запись вроде 4x²(3x − 5y + 2) и понимаешь: каждая скобка может съесть пол-урока. Знакомо? На самом деле вся тема держится на одном коротком правиле, и если отработать его до автоматизма, контрольная перестаёт быть страшной. Этот разбор — короткий тренажёр: теория, полный пример, типичные ошибки и задания с ответами, чтобы ты проверил себя без репетитора.

В 7 классе умножение одночлена на многочлен — первая серьёзная операция с буквенными выражениями. До неё ты складывал подобные слагаемые и раскрывал простые скобки со знаком «плюс». Теперь появляется распределительный закон во всей красе, и от того, насколько уверенно ты им владеешь, зависят будущие темы: формулы сокращённого умножения, разложение на множители, уравнения, а позже и квадратные корни, о которых мы говорим в статье про квадратные корни и уравнения.

Контрольная обычно состоит из четырёх типов заданий: упростить выражение, решить уравнение, найти значение выражения при данных переменных и иногда — задача на периметр или площадь. Плюс отдельный пункт на внимательность: проверить, верно ли выполнено преобразование. Ниже — каждый тип с примером.

Правило и шаги: как умножать одночлен на многочлен

Формулировка правила короткая: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить. Записывается это так: a(b + c − d) = ab + ac − ad. Ничего нового по сравнению с распределительным законом, который ты знаешь с начальной школы: 3 · (10 + 2) = 30 + 6.

На практике удобно действовать по шагам. Первый: посмотри на знаки — они переносятся вместе с членом. Второй: перемножь коэффициенты, то есть числа перед буквами. Третий: перемножь степени с одинаковыми основаниями, складывая показатели: x² · x³ = x⁵. Четвёртый: приведи подобные слагаемые, если они появились. Степень многочлена при умножении на одночлен повышается ровно на степень этого одночлена.

Порядок членов в ответе принято записывать по убыванию степеней: 2x³ − 8x² + 6x. Это не обязательное требование, но за такое оформление баллы снижают реже, а проверять работу проще. Отработать шаги на коротких примерах удобно в личном кабинете: там задания проверяются сразу, и ошибку видно в момент, когда она появилась.

Пример: 5a · (2a² − 3a + 4) = 10a³ − 15a² + 20a. Три члена — три произведения, знаки сохранены, показатели сложены. Привычка к такому построчному письму заметно экономит время на контрольной.

Полный разобранный пример

Разберём задание, которое встречается почти в каждой контрольной: упростить выражение 3x(2x − 4) − 2x(3x − 6) и найти его значение при x = −2. Работаем аккуратно и записываем каждый шаг отдельной строкой — так видно, где могла закрасться ошибка.

3x(2x − 4) − 2x(3x − 6) =
= 3x · 2x − 3x · 4 − 2x · 3x + 2x · 6 =
= 6x² − 12x − 6x² + 12x =
= 0

Смотри, что произошло в третьей строке: перед второй скобкой стоял минус, поэтому каждое произведение поменяло знак — −2x · 3x = −6x², а −2x · (−6) = +12x. После приведения подобных выражение обратилось в ноль. Значит, при любом x, в том числе при x = −2, его значение равно 0. Подстановка подтверждает: 3 · (−2) · (−4 − 4) − 2 · (−2) · (−6 − 6) = 48 − 48 = 0.

Такой результат — не подвох, а нормальный случай: выражения бывают тождественно равны нулю. Если в контрольной получился ноль, не переписывай ответ «на всякий случай» — лучше перепроверь знаки во второй скобке, ведь именно там прячется большинство ошибок.

Типичные ошибки на контрольной

Ошибка первая — забытый член. Школьник умножает одночлен на первые два члена, а третий теряет: 2x(x − 3 + 5) → 2x² − 6x. Правильный ответ: 2x² − 6x + 10x = 2x² + 4x. Считай количество слагаемых в скобке: сколько их, столько произведений получится после раскрытия. Это быстрое самопроверочное действие.

Ошибка вторая — знаки. При умножении на отрицательный одночлен меняется знак каждого члена: −3a(a + 4) = −3a² − 12a, а не +12a. Отдельный случай — минус перед скобкой: −(x + 2) = −x − 2. Здесь работает простое правило: минус раздаёт себя каждому слагаемому внутри.

Ошибка третья — степени. Вместо сложения показателей их перемножают: x² · x³ = x⁶ вместо x⁵. Запомни разницу: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются, а при возведении степени в степень — умножаются. Это разные операции, и путать их нельзя.

Ошибка четвёртая — потерянный коэффициент: 4 · 3x² = 12x², а не 7x². И ещё одна, коварная: умножение только на первую букву члена, когда забывают про вторую — 2x(3xy) = 6x²y, а не 6x².

Контрольная работа: задания и ответы

Ниже — компактный вариант контрольной из шести заданий. Сначала реши их сам в тетради, а потом сверься с таблицей ответов. Такой формат ближе всего к тому, что ждёт тебя на уроке: короткие формулировки, разные типы заданий и полное отсутствие подсказок.

1) 6a(2a − 3) = ?
2) −4x(3x + 2) = ?
3) 5m(m² − 2m + 4) = ?
4) 2y(3y − 1) − 3y(y + 2) = ?
5) Реши: 4x(x − 3) = 4x² − 24
6) Найди значение: 2b(5 − b) при b = 3

Пятое задание разберём отдельно: 4x² − 12x = 4x² − 24, после вычитания 4x² получаем −12x = −24, откуда x = 2. Одинаковые слагаемые с обеих сторон сокращаются — это не ошибка, а нормальный ход решения. Если хочется потренировать похожие задачи с долями, загляни в разбор задач на части и отношения.

Что запомнить и как двигаться дальше

Главное правило темы: одночлен умножается на каждый член многочлена, знаки сохраняются, коэффициенты перемножаются, показатели степеней с одинаковыми основаниями складываются. Дальше — только приведение подобных и аккуратная запись по строкам. Если ты держишь в голове эти четыре пункта, заданий на контрольной можно не бояться.

Проверь себя прямо сейчас: возьми любую задачу из таблицы выше, реши её заново через день, а потом ещё раз через неделю. Двух-трёх повторений обычно хватает, чтобы навык стал устойчивым. Ошибки записывай в отдельный список — перед контрольной достаточно перечитать только его.

Хочешь закрепить тему на практике с проверкой? Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно — начать бесплатную практику. В личном кабинете прогресс сохраняется, поэтому видно, какие типы заданий уже получаются, а какие стоит повторить.