Просто УрокЗадачи на части, отношения и доли
Половина, треть, отношение 2 к 3 — задачи, где величины заданы долями, встречаются везде: от деления карманных денег до рецептов и сплавов. Вся тема решается одним приёмом — методом одной части. Показываем на примерах по шагам.
Доли, отношения и части: в чём разница
Доля — это часть целого: половина, треть, четверть. Отношение — способ сравнить две величины: запись 2:3 читается «два к трём» и показывает, что первая величина состоит из 2 равных частей, а вторая — из 3 таких же частей.
\( a : b = \dfrac{a}{b} \)
Ключевая мысль: в отношении 2:3 числа 2 и 3 — это не сами значения, а количество частей. Подойдёт и пара 20 и 30, и 200 и 300 — отношение останется тем же. Поэтому задачи, где величины даны в отношении, удобно решать через «части».
С дробями и процентами связь прямая: 1/2, 50% и отношение 1:1 — три записи одной идеи. Если нужно освежить тему, прочитай статью про задачи на проценты.
Метод одной части
Главный инструмент всей темы — метод одной части. Алгоритм из трёх шагов:
- Сложи все части отношения — узнаешь, на сколько равных частей поделено целое.
- Раздели известную величину на число частей — получишь вес одной части.
- Умножь вес части на нужное количество частей — получишь ответ.
одна часть = величина / сумма всех частей
Всё решение держится на втором шаге. Метод работает с двумя, тремя и хоть пятью членами отношения — шаги не меняются.
Первый вопрос к любой задаче с отношением: сколько всего частей? Ответ на него почти всегда открывает дорогу всему решению. Даже если условие запутано, начинай со сложения частей.
Пример 1. Делим деньги в отношении 2:3
Условие: брат и сестра разделили 1500 рублей в отношении 2:3. Сколько денег получилось у каждого?
- Всего частей: 2 + 3 = 5.
- Одна часть: 1500 / 5 = 300 рублей.
- Брату: 2 · 300 = 600 рублей, сестре: 3 · 300 = 900 рублей.
Ответ: 600 и 900 рублей. Проверь ответ двумя условиями: сумма совпадает — 600 + 900 = 1500, и отношение совпадает — 600 : 900 = 2 : 3. Каждая проверка занимает секунды.
Пример 2. Рецепт и известная часть
Не всегда известна сумма величин. Условие: ягоды и сахар для варенья берут в отношении 5:3. Сколько сахара нужно на 2 килограмма ягод?
- Ягоды — это 5 частей, и они известны: 2 кг.
- Одна часть: 2000 / 5 = 400 граммов.
- Сахар: 3 · 400 = 1200 граммов, то есть 1,2 кг.
Ответ: 1,2 килограмма сахара. Заметь: неважно, известна сумма или одна из величин, — метод одной части работает одинаково.
Членов может быть и три. Если стороны треугольника относятся как 2:3:4, то всего 2 + 3 + 4 = 9 частей: дели известную величину на 9 и умножай на нужное количество. Этот приём чаще всего выручает в задачах на смеси и сплавы.
Потренируй задачи на части
В тренажёре ОГЭ выбери текстовые задачи, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Ловушки: порядок, разность и «в разы»
Порядок членов отношения
Запись «отношение массы ягод к массе сахара равно 5:3» — это ягоды : сахар. Переставишь члены — получишь 3:5 и неверный ответ. Выписывай отношение строго в порядке условия и подписывай, что есть что.
Разность частей
В экзаменационных задачах часто известна не сумма, а разность. Пусть в отношении 2:3 у сестры на 300 рублей больше. Разность частей: 3 − 2 = 1, значит, одна часть — 300 рублей. Дальше по методу: у брата 600 рублей, у сестры 900.
«На» больше или «в» раза больше
«На 5 больше» — это сложение, а «в 5 раз больше» — умножение. Второй случай и есть части: если одна величина в 5 раз больше другой, их отношение равно 5:1. Перепутаешь предлог — решение пойдёт не туда, поэтому перечитай условие дважды.
Проверка из двух условий — сумма частей даёт исходное целое, а сами числа дают исходное отношение — должна стать привычкой. Провалилась хотя бы одна — ищи ошибку в весе одной части.
Метод одной части работает и в 5 классе на простых задачах, и на экзамене в задачах про сплавы и бригады. Если части пересекаются с работой — загляни в статью про задачи на совместную работу: там та же логика в действии.
Хочешь, чтобы текстовые задачи стали рядовой тренировкой? Заходи на Просто Урок — объясняем спокойно и по шагам, с практикой на каждом этапе.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Что значит отношение 2:3 простыми словами?
Что целое разделено на 5 равных частей: первая величина — 2 такие части, вторая — 3. Сами числа 2 и 3 в ответе не появляются — они показывают только количество частей.
Как решать, если в отношении три члена, например 2:3:5?
Так же, как с двумя: сложи части (2 + 3 + 5 = 10), раздели известную величину на 10 и умножь на нужное число частей. Метод одной части не меняется от количества членов.
Как найти числа, если известна только их разность?
Вычти меньшее число частей из большего: разность величин приходится на разность частей. В отношении 2:3 разность частей равна 1, поэтому одна часть равна известной разности, а дальше числа находятся умножением.
Где в экзаменах встречаются задачи на части?
В текстовых задачах ОГЭ и в простых задачах первой части ЕГЭ: деление пропорционально, сплавы, рецептуры. Какие именно номера их содержат сейчас — уточните на официальном сайте ФИПИ.