Умножение одночленов и возведение в степень: контрольная работа с ответами

Одночлены: почему контрольная пугает и как это исправить

Контрольная по одночленам кажется простой: перемножить числа и буквы — что тут сложного? А потом в работе появляются минусы, скобки и степени, и баллы теряются на ровном месте. Если это про тебя, читай дальше: ниже короткая теория, полностью разобранный пример и список типичных ошибок, чтобы ты пришёл на контрольную спокойно.

Одночлен — это произведение числа и степеней переменных: 5a, −3x²y, 0,7mn³, 12. Числовой множитель называют коэффициентом, а произведение букв — буквенной частью. Стандартный вид означает: одно число впереди, каждая переменная встречается один раз, показатели — натуральные числа.

Задания на умножение и возведение в степень проверяют две вещи: знаешь ли ты свойства степеней и умеешь ли не терять множители. Ниже разберём всё по шагам, от правила до проверки ответа. А если хочется сразу решать, а не только читать, открой личный кабинет — бесплатная практика с проверкой уже доступна.

Умножение одночленов: правило и шаги

Умножение опирается на переместительный и сочетательный законы: множители можно переставлять и группировать как удобно. Отсюда простой алгоритм.

1) Перемножить коэффициенты.
2) Перемножить степени с одинаковыми основаниями: показатели сложить.
3) Записать результат в стандартном виде.

Ключевое свойство: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ. Оно работает и когда переменных несколько, и когда множителей больше двух.

4a²b · (−3ab³) = 4 · (−3) · a² · a · b · b³ = −12a³b⁴
−0,5m³n · 8mn² · (−2n) = (−0,5 · 8 · (−2)) · m⁴ · n⁴ = 8m⁴n⁴

Держи порядок: сначала знак, потом числа, потом буквы. Так минус не потеряется, а буквы не перепутаются. Если в примере есть скобка со степенью, сначала раскрывай степень, и только потом перемножай остальное. Похожие преобразования встречаются и в повторении заданий 11–12 ОГЭ — там та же логика, только в более длинных выражениях.

Возведение одночлена в степень

Здесь работают два правила. Первое: (ab)ⁿ = aⁿbⁿ — степень произведения равна произведению степеней. Второе: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — показатели перемножаются, а не складываются.

(3x²y)² = 3² · (x²)² · y² = 9x⁴y²
(−2ab³)³ = (−2)³ · a³ · (b³)³ = −8a³b⁹
(0,1mn²)² = 0,1² · m² · (n²)² = 0,01m²n⁴

Главное отличие от умножения: коэффициент тоже возводится в степень, а показатели переменных умножаются. Если коэффициент отрицательный, смотри на чётность показателя: чётная степень даёт плюс, нечётная — минус.

Порядок действий в длинном примере всегда один: степень → умножение → приведение подобных. Проверить себя удобно в личном кабинете: решаешь и сразу видишь, где именно проседает.

Разобранный пример целиком

Упрости выражение: (−2x²y)³ · 5xy².

Шаг 1. Возводим в куб: (−2x²y)³ = (−2)³ · (x²)³ · y³ = −8x⁶y³
Шаг 2. Умножаем: −8x⁶y³ · 5xy² = (−8 · 5) · (x⁶ · x) · (y³ · y²)
Шаг 3. Складываем показатели: −40x⁷y⁵
Ответ: −40x⁷y⁵

Проверка на числах: пусть x = 1, y = 1. Тогда (−2)³ · 5 = −40, и ответ тоже даёт −40. Значит, знак и показатели не потеряны.

А теперь посмотри на таблицу: в ней собраны ошибки, которые чаще всего встречаются в тетрадях семиклассников.

Типичные ошибки и как их не допустить

Разберём причины провалов. Первая — путаница двух свойств: при умножении показатели складываются, при возведении в степень перемножаются. Запомни опорой: «умножаю — плюсую, в степень вожу — умножаю».

Вторая — коэффициент остаётся без степени. В выражении (4x)² правильный ответ 16x², а не 4x². Третья — потеря минуса: у нечётной степени знак сохраняется, у чётной меняется на плюс.

Четвёртая ошибка — нестандартный ответ: 2 · a · a · 5 · b вместо 10a²b. Формально это верно, но на контрольной такой ответ часто не засчитывают. Пятая — арифметика с дробями и десятичными: 0,5 · 0,2 = 0,1, а не 1. Тренируй эти места отдельно, например через разбор задания 2 ОГЭ.

Что запомнить

Соберём главное в короткий список.

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ — при умножении показатели складываем.
(ab)ⁿ = aⁿ · bⁿ — в степень возводится каждый множитель.
(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — при возведении в степень показатели перемножаем.
(−a)²ⁿ > 0, (−a)²ⁿ⁺¹ < 0 — знак зависит от чётности степени.
Порядок: степень → умножение → стандартный вид.

Этого достаточно, чтобы уверенно решить большинство заданий контрольной. Дальше всё решает практика: чем больше однотипных примеров ты прогонишь руками, тем меньше времени уйдёт на каждом шаге.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Проверка покажет ошибку сразу, а разбор объяснит, какой шаг хромает. После этого контрольная перестанет быть лотереей.