Свойства квадратных корней: вынесение множителя: контрольная работа с ответами

Зачем выносить множитель из-под знака корня

Представь контрольную: нужно сравнить √50 и 7, упростить √72 + √18, сократить дробь с корнями. Пока под корнем стоит «неудобное» число, легко растеряться и потерять время. Но стоит вынести множитель — и √50 превращается в 5√2, а сравнение с 7 делается в одну строку. Этот приём экономит минуты на работе и делает ответ аккуратным. Ниже — вся теория по шагам, разобранный пример, тренировочная контрольная с ответами и разбор типичных ошибок.

Вынесение множителя из-под знака корня — это замена √(a²·b) на a√b, где a ≥ 0 и b ≥ 0. Мы «вытаскиваем» наружу то, что стоит под корнем в чётной степени. Например, √9 = 3, поэтому √(9·5) = 3√5. Логика простая: корень из произведения равен произведению корней, а корень из полного квадрата — целое число. Под корнем остаётся самое маленькое из возможных чисел.

Где это реально пригодится? Во-первых, для сравнения: 5√2 ≈ 7,07, значит √50 больше 7. Во-вторых, для сложения: √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2. В-третьих, для красивого ответа: √48 = 4√3. Похожая аккуратность нужна и в других темах: когда строишь график, координатная плоскость тоже не прощает небрежных вычислений — координатная плоскость держится на точных числах.

Главное, что стоит понять сразу: вынесение — не трюк, а следствие свойств корня. Если ты уверенно раскладываешь число на множители, дальше всё делается автоматически.

Пять свойств корней, на которых всё держится

Первое свойство: корень из произведения равен произведению корней, то есть √(a·b) = √a · √b при a ≥ 0 и b ≥ 0. Именно оно разрешает разбить √50 на √25 · √2. Второе: корень из частного равен частному корней — √(a ÷ b) = √a ÷ √b, если a ≥ 0 и b > 0. Оно помогает упрощать дробные выражения вроде √(9 ÷ 16) = 3 ÷ 4.

Третье свойство: (√a)² = a при a ≥ 0, возведение в квадрат «снимает» корень. Четвёртое, самое важное для вынесения: √(a²) = |a|. Модуль появляется потому, что корень не бывает отрицательным: √((−3)²) = √9 = 3, а не −3. Если в условии сказано a ≥ 0, модуль опускают и пишут просто a. Пятое: √a · √a = a.

Типичная ошибка — применять первое свойство к сумме. Смотри: √(9 + 16) = √25 = 5, но √9 + √16 = 3 + 4 = 7. Это разные числа, и ставить между ними знак равенства нельзя. Свойства работают для умножения и деления, но не для сложения и вычитания.

Такая же дисциплина письма нужна при работе с формулами корней квадратного уравнения: теорема Виета в задачах тоже наказывает за невнимательность к знакам и порядку действий.

Алгоритм вынесения множителя и полный разбор примера

Шаг 1. Разложи число под корнем так, чтобы среди множителей был полный квадрат: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Шаг 2. Запиши выражение как произведение корней: √(36 · 5) = √36 · √5. Шаг 3. Извлеки корень из полного квадрата и поставь его перед знаком корня: 6√5. Шаг 4. Проверь, не осталось ли под корнем ещё одного квадрата, и при необходимости повтори шаг 1.

√180 = √(36 · 5) = √36 · √5 = 6√5
√72 = √(36 · 2) = 6√2
√48 = √(16 · 3) = 4√3
√98 = √(49 · 2) = 7√2

Теперь пример с буквами. Упростим √(72a²b³) при a ≥ 0, b ≥ 0. Раскладываем: 72 = 36 · 2, a² — полный квадрат, b³ = b² · b. Получаем √(36 · 2 · a² · b² · b) = 6 · a · b · √(2b). Итог: 6ab√(2b). Обрати внимание: множитель b вышел из-под корня в первой степени, и под корнем осталось тоже b в первой степени.

Частая ошибка — вынести то, что полным квадратом не является: √12 = 2√6 неверно, правильно √12 = 2√3, ведь 12 = 4 · 3. Вторая ошибка — забыть про букву: в √(a²b) множитель выносится как a при a ≥ 0, иначе пишем |a|√b.

Обратная задача: внесение множителя под корень

Иногда полезно сделать наоборот — убрать число перед корнем внутрь. Правило: a√b = √(a²b) при a ≥ 0 и b ≥ 0. Множитель возводится в квадрат и умножается на подкоренное выражение. Так удобно сравнивать: 3√2 = √18, а 2√5 = √20, значит 3√2 меньше, чем 2√5.

5√3 = √(25 · 3) = √75
2√7 = √(4 · 7) = √28
0,5√8 = √(0,25 · 8) = √2

Ещё один сюжет — упрощение сумм: √8 + √18 − √32 = 2√2 + 3√2 − 4√2 = √2. Складывать можно только «родственные» корни: 2√2 и 3√2 складываются, а 2√2 и 2√3 — нет. Если ответ получился громоздким, попробуй вынести множитель ещё раз: часто выражение схлопывается в одну короткую строку.

Ошибка, которая встречается чаще всего: при внесении отрицательного множителя знак «−» оставляют снаружи, а внутрь отправляют только модуль. Запись −3√2 = −√18 верна, а −3√2 = √18 — нет, ведь корень не бывает отрицательным. Потренироваться в таких переходах без спешки можно в личном кабинете: там задания идут с пошаговой проверкой и разбором.

Контрольная работа: задания и ответы

Ниже — тренировочная работа в формате контрольной. Реши задания на черновике и только потом сверяйся с таблицей: так проверка будет честной. На выполнение достаточно 25–30 минут, пользоваться калькулятором не нужно.

Часть A. Вынеси множитель из-под знака корня: 1) √28; 2) √45; 3) √200. Часть B. Упрости: 4) √8 + √18; 5) 3√5 − √20. Часть C. Сравни: 6) 4√3 и 7.

Разберём задание 6 подробнее. Чтобы сравнить 4√3 и 7, внесём 4 под корень: 4√3 = √16 · √3 = √48. Теперь сравним √48 и √49: первое меньше. Значит 4√3 < 7. Тот же приём выручает, когда в ответе нужно указать, какое из чисел больше, не прибегая к приближённым значениям.

Что запомнить

Три правила, которые закрывают тему. Первое: √(a²b) = a√b при a ≥ 0, b ≥ 0 — вынести можно только полный квадрат. Второе: a√b = √(a²b) при a ≥ 0 — внести множитель значит возвести его в квадрат. Третье: складывать и вычитать можно лишь одинаковые корни, поэтому сначала всегда выноси множитель.

Алгоритм ответа на контрольной держи в голове таким: разложи число на множители, найди полный квадрат, извлеки корень, проверь, не осталось ли ещё одного квадрата. Для буквенной части добавь условие неотрицательности: если про знак переменной ничего не сказано, оставляй модуль.

Следующий шаг — практика. Зарегистрируйся в личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий бесплатно: система подскажет, где именно ты теряешь множитель, и ты закроешь тему за один вечер.