Теорема Виета: как применять: контрольная работа с ответами

Теорема Виета: что нужно знать в 8 классе

Если в контрольной нужно быстро найти корни квадратного уравнения, а дискриминант кажется длинным и неудобным, теорема Виета часто помогает решить задачу устно или в несколько строк. Разберём правило, научимся подбирать корни, проверять себя и видеть типичные ловушки. Тема связана с разложением выражений, поэтому при необходимости повтори материал об одночленах и многочленах.

Рассмотрим приведённое квадратное уравнение: x² + px + q = 0. Если его корни обозначены x₁ и x₂, то сумма корней равна коэффициенту при x, взятому с противоположным знаком, а произведение равно свободному члену:

x₁ + x₂ = −p
x₁ · x₂ = q

Например, в уравнении x² − 7x + 12 = 0 нужно найти два числа, сумма которых равна 7, а произведение — 12. Это 3 и 4. Значит, корни равны 3 и 4.

Типичная ошибка — забыть знак перед коэффициентом. В выражении x² + 5x + 6 сумма корней равна −5, а не 5. Всегда переписывай формулу отдельно.

Как применять теорему Виета по шагам

Сначала проверь, что уравнение приведённое: коэффициент при x² должен быть равен 1. Затем определи сумму и произведение корней, подбери пару целых чисел и выполни обратную проверку. Если коэффициент при x² не равен единице, сначала раздели все слагаемые на него, если это возможно.

Решим уравнение полностью:
x² − 9x + 20 = 0
x₁ + x₂ = 9
x₁ · x₂ = 20
Подходят числа 4 и 5, потому что 4 + 5 = 9, а 4 · 5 = 20.
Ответ: x₁ = 4, x₂ = 5.

Если свободный член отрицательный, корни имеют разные знаки. Например, в уравнении x² + x − 12 = 0 нужны числа с суммой −1 и произведением −12: это 3 и −4.

Ошибка: ученик подбирает числа только по произведению, но не проверяет сумму. Одного условия недостаточно.

Неприведённые уравнения и обратная теорема

Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, действует общая форма теоремы Виета:

x₁ + x₂ = −b ÷ a
x₁ · x₂ = c ÷ a

Например, уравнение 2x² − 10x + 12 = 0 можно разделить на 2: x² − 5x + 6 = 0. После этого легко найти корни 2 и 3. Если деление неудобно, используй общие формулы: сумма равна 5, произведение равно 6.

Обратная теорема помогает составить уравнение по известным корням. Если корни равны 2 и −6, их сумма −4, произведение −12. Значит, уравнение имеет вид x² + 4x − 12 = 0.

Типичная ошибка — применять формулу приведённого уравнения сразу к примеру 3x² + 6x − 9 = 0. Здесь коэффициент a равен 3, поэтому сумма корней равна −2, а не −6.

Полезно помнить: если корни противоположные, их сумма равна нулю, и коэффициент при x исчезает. Например, корни 5 и −5 дают уравнение x² − 25 = 0.

Мини-контрольная работа с ответами

Попробуй решить задания самостоятельно, не заглядывая в таблицу. В первых примерах достаточно теоремы Виета, а в последнем нужно внимательно учесть коэффициент при x². Записывай не только ответ, но и пару чисел, по которой ты его нашёл.

Разберём третий пример: сумма корней должна быть 12, произведение 36. Подходит пара 6 и 6, поэтому уравнение имеет один повторяющийся корень.

В четвёртом задании сначала раздели все коэффициенты на 2: получишь x² − 7x + 12 = 0. Корни — 3 и 4.

Частая ошибка — считать одинаковые корни двумя разными решениями. В ответе достаточно записать x = 6, если корень повторяется.

Типичные ошибки и проверка решения

Самая распространённая ошибка связана со знаком суммы. В уравнении x² − 11x + 24 = 0 сумма корней равна 11. Но в уравнении x² + 11x + 24 = 0 она равна −11. Произведение в обоих случаях остаётся равным 24.

Вторая проблема — неверный подбор пары. Делители 24 образуют пары 1 и 24, 2 и 12, 3 и 8, 4 и 6. Нужно проверить, какая сумма подходит условию, а не выбирать первые числа.

Третья ошибка — потеря корня при раскрытии скобок или делении. Например, запись (x − 2)(x + 5) = 0 сразу даёт x = 2 или x = −5. Проверка по сумме: 2 + (−5) = −3, значит коэффициент при x равен 3.

Для самопроверки подставь найденные числа в исходное уравнение или проверь сумму и произведение. Такая привычка особенно полезна перед сдачей контрольной.

Если хочешь потренироваться на задачах с разными формулировками, посмотри разбор задания 3 ЕГЭ по математике: логика проверки корней пригодится и там.

Что запомнить перед контрольной

Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение — q. Для неприведённого уравнения ax² + bx + c = 0 нужно использовать отношения −b ÷ a и c ÷ a. Перед применением теоремы всегда проверь первый коэффициент.

Алгоритм простой: приведи уравнение к нужному виду, выпиши сумму и произведение, подбери пару чисел, проверь оба условия и запиши ответ. Если произведение положительное, корни имеют одинаковые знаки; если отрицательное — разные.

Например, для x² + 6x + 8 = 0 нужны числа с суммой −6 и произведением 8. Это −2 и −4. Ошибка здесь — взять 2 и 4, забыв знак суммы.

После разбора зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно: так ты проверишь, насколько уверенно применяешь правило без подсказок. Разбирай ошибки спокойно, ведь именно они показывают, что повторить.

Следующий шаг — решить мини-контрольную ещё раз через день, закрыв ответы. Если все пары находятся уверенно, переходи к задачам, где сначала нужно привести уравнение к стандартному виду.