Функции и их свойства: область определения и значения: задачи с решениями и ответами

Что такое функция и как читать её запись

Функции часто кажутся сложными из-за букв, графиков и ограничений. Но если действовать по алгоритму, ты быстро научишься находить область определения, значения и свойства функции, а затем уверенно решать задания 9 класса.

Функция связывает независимую переменную x и зависимую переменную y: каждому допустимому x соответствует только одно значение y. Запись y = f(x) означает правило, по которому вычисляют результат. Например, в функции y = 2x + 3 числу x = 4 соответствует y = 11.

f(x) = 2x + 3
f(4) = 2 · 4 + 3 = 11
f(0) = 3

Область определения — все значения x, которые разрешены формулой. Область значений — все результаты y, которые может получить функция. График функции помогает увидеть, где она возрастает или убывает.

Например, для y = √x подкоренное выражение неотрицательно: x ≥ 0. Значит, область определения — x ≥ 0, а значения функции также неотрицательны: y ≥ 0.

Типичная ошибка — считать областью определения любые числа, не проверяя знаменатели и корни. Полезно дополнительно повторить чтение координат на координатной плоскости.

Область определения: ограничения в формуле

Чтобы найти область определения, проверь формулу по трём правилам. Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным. Если встречаются другие ограничения, их также записывают и объединяют.

Рассмотрим функцию y = 5 ÷ (x − 2). Число x = 2 исключается, потому что деление на ноль невозможно. Поэтому область определения: все числа, кроме 2.

x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
D(f) = (−∞; 2) ∪ (2; +∞)

Теперь пример с корнем: y = √(7 − x). Подкоренное выражение должно быть не меньше нуля: 7 − x ≥ 0, откуда x ≤ 7. При x = 7 функция равна нулю, это допустимое значение.

Если в формуле есть дробь и корень, решай оба условия одновременно. Например, y = √(x + 1) ÷ (x − 3): нужно x ≥ −1 и x ≠ 3.

Типичная ошибка — ставить знак «больше» вместо «больше или равно» под корнем. Граничное значение часто разрешено.

Область значений и основные свойства

Область значений находят по возможным результатам y. Иногда достаточно заметить очевидное: квадрат неотрицателен, корень неотрицателен, а линейная функция с ненулевым коэффициентом принимает любые значения.

Для y = (x − 4)² + 2 квадрат неотрицателен, поэтому минимальное значение функции равно 2. Область значений: y ≥ 2. Вершина графика находится в точке (4; 2).

y = (x − 4)² + 2
(x − 4)² ≥ 0
y ≥ 2
yₘᵢₙ = 2

Свойства функции описывают её поведение: нули, промежутки знакопостоянства, возрастание, убывание, наибольшее и наименьшее значения. Для квадратичной функции график-парабола особенно полезно находить вершину.

Типичная ошибка — путать координату вершины x = 4 с минимальным значением y = 2. Для закрепления можно открыть личный кабинет с бесплатной практикой и проверить себя.

Разобранная задача с полным решением

Задача: найти область определения функции y = √(x + 2) ÷ (x − 1), а также вычислить значение функции при x = 2.

Сначала составляем ограничения. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — отличаться от нуля. Затем проверяем, подходит ли заданное значение x.

x + 2 ≥ 0 → x ≥ −2
x − 1 ≠ 0 → x ≠ 1
D(f) = [−2; 1) ∪ (1; +∞)
f(2) = √(2 + 2) ÷ (2 − 1)
f(2) = √4 ÷ 1 = 2

Ответ: область определения состоит из двух промежутков, потому что точка 1 выколота. Значение функции при x = 2 равно 2. Обрати внимание: число 2 удовлетворяет обоим ограничениям, значит подстановка допустима.

Если требуется найти нули функции, числитель должен быть равен нулю, а знаменатель — не равен нулю. Здесь √(x + 2) = 0 при x = −2, и это значение допустимо.

Типичная ошибка — записать x ≥ −2 и забыть исключить x = 1. Проверка каждого элемента формулы защищает от такой потери.

Как исследовать функцию по графику и формуле

Исследование удобно проводить по плану: область определения, область значений, нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание, экстремумы. По графику смотри слева направо: если точки поднимаются, функция возрастает, если опускаются — убывает.

Рассмотрим y = x². Её область определения — все числа, область значений — y ≥ 0. Нуль один: x = 0. На промежутке (−∞; 0] функция убывает, а на [0; +∞) возрастает.

x² = 0 → x = 0
x₁ < x₂ ≤ 0 → x₁² > x₂²
0 ≤ x₁ < x₂ → x₁² < x₂²

Функция y = x² чётная, потому что f(−x) = f(x). Её график симметричен относительно оси y. У линейной функции y = kx + b знак коэффициента k определяет направление: при k > 0 она возрастает, при k < 0 убывает.

В заданиях с графиком не забывай проверять масштаб осей и открытые точки. Пустая точка не входит в график, а закрашенная входит.

Типичная ошибка — называть функцию возрастающей на всём промежутке, если она сначала убывает, а затем возрастает. Разбивай исследование по вершине или поворотной точке.

Что запомнить

Главное правило: область определения ищут по ограничениям формулы, а область значений — по возможным результатам. Знаменатель не равен нулю, подкоренное выражение неотрицательно. Свойства функции читают по формуле или графику.

Алгоритм решения таков: выпиши условия, реши их, объедини промежутки, подставь нужное значение и проверь ответ. Для графика отдельно отмечай нули, промежутки знакопостоянства, возрастание и убывание.

Если хочется отработать тему без спешки, зарегистрируйся и реши задания в бесплатной практике. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, сверяя не только ответ, но и каждый шаг.

Не путай область определения с областью значений и не забывай про граничные точки. При необходимости повтори свойства квадратных уравнений в материале про дискриминант.

Типичная ошибка — переписать ответ без указания, почему точка исключена. Короткое условие рядом с решением делает рассуждение понятным и проверяемым.