Сумма геометрической прогрессии: задачи с решениями и ответами

Что такое сумма геометрической прогрессии

Знакомая ситуация: условие прочитано, знаменатель найден, а на вопросе «найдите сумму первых восьми членов» рука зависает. Или родитель заглядывает в тетрадь и не может объяснить, откуда взялась громоздкая дробь. Сумма геометрической прогрессии — именно тот инструмент, который снимает эту боль: одна формула, аккуратная подстановка и уверенный ответ. Ниже — теория по шагам, полностью разобранный пример, типичные ошибки и задачи с ответами для отработки.

Геометрическая прогрессия — это последовательность, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q. Это число называют знаменателем прогрессии. Пример: 2; 6; 18; 54; … Здесь b₁ = 2, а q = 6 ÷ 2 = 3. Сумму первых n членов такой последовательности обозначают Sₙ и находят по готовой формуле, а не сложением всех членов подряд — иначе на больших n счёт растянется на полстраницы.

Если q ≠ 1: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)
или в «перевёрнутом» виде: Sₙ = b₁ · (1 − qⁿ) ÷ (1 − q)
Если q = 1: Sₙ = n · b₁
Если |q| < 1: S = b₁ ÷ (1 − q)

Обе записи равносильны: числитель и знаменатель просто умножены на −1. Выбирай ту, у которой знаменатель получается положительным, — так меньше риска потерять минус. Отдельно стоит случай q = 1: тогда прогрессия постоянна, и сумма равна n · b₁. А если |q| < 1, прогрессия называется бесконечно убывающей, и можно найти сумму всех её членов: S = b₁ ÷ (1 − q).

Как решать: пошаговый алгоритм

Шаг 1. Выпиши из условия b₁ и q. Знаменатель удобнее всего искать делением: q = b₂ ÷ b₁. Если в задаче даны два любых соседних члена, этого достаточно, чтобы найти q, а значит, и всю прогрессию.

Шаг 2. Определи, что именно требуется. Сумма первых n членов — работаем с формулой и степенью qⁿ. Сумма бесконечной убывающей прогрессии — сначала проверяем условие |q| < 1, и только потом берём S = b₁ ÷ (1 − q).

Шаг 3. Отдельно проверь случай q = 1. Тогда все члены равны b₁, а сумма считается как n · b₁. Делить на q − 1 в этот момент нельзя: получится ноль в знаменателе.

Шаг 4. Подставляй числа и считай по действиям: сначала степень, потом вычитание в скобках, потом умножение и деление. Так ты увидишь, где именно ошибся, если ответ не сойдётся. Тренироваться на коротких наборах удобно в личном кабинете, где проверка приходит сразу после ответа.

Разобранный пример целиком

Дана прогрессия 5; −10; 20; −40; … Нужно найти сумму первых четырёх членов. Здесь b₁ = 5, а знаменатель q = −10 ÷ 5 = −2. Модуль q больше единицы, значит формула бесконечной суммы не подходит — считаем Sₙ по основной формуле. Обрати внимание: отрицательный знаменатель сам по себе не ошибка, а обычная часть условия.

S₄ = b₁ · (q⁴ − 1) ÷ (q − 1)
S₄ = 5 · ((−2)⁴ − 1) ÷ (−2 − 1)
S₄ = 5 · (16 − 1) ÷ (−3)
S₄ = 5 · 15 ÷ (−3) = 75 ÷ (−3) = −25

Проверим сложением: 5 + (−10) + 20 + (−40) = −25. Всё сходится, знак ответа отрицательный — так и должно быть, потому что отрицательные члены перевесили.

Теперь пример на бесконечную сумму. Пусть b₁ = 12, q = ⅓. Так как |⅓| < 1, прогрессия бесконечно убывающая: S = 12 ÷ (1 − ⅓) = 12 ÷ ⅔ = 12 · 1½ = 18. Проверка по первым членам: 12 + 4 + 1⅓ + … сумма постепенно подбирается к 18 и никогда её не превысит.

Типичные ошибки и как их избежать

Первая и самая частая — путаница между (q − 1) и (1 − q). Формулы равносильны только целиком: если в знаменателе стоит q − 1, то сверху должно быть qⁿ − 1; если 1 − q, то 1 − qⁿ. Смешать половинки от двух записей — значит гарантированно получить ответ со сдвинутым знаком.

Вторая ошибка — забытый случай q = 1. Подставлять единицу в основную формулу нельзя: деление на ноль недопустимо. Прогрессия 7; 7; 7; … имеет сумму 7 · n, и это единственный верный ответ.

Третья — степень вместо умножения. Запись qⁿ означает, что q умножается само на себя n раз, а не q · n. Для q = 3 и n = 4 верно 3⁴ = 81, а вовсе не 12.

Четвёртая — неверно найденный первый член. Если в условии даны b₄ и q, сначала восстанови b₁: b₄ = b₁ · q³, значит b₁ = b₄ ÷ q³. Иначе вся подстановка пойдёт не с теми числами.

Задачи для самостоятельной отработки

Попробуй решить сам, а потом сверься с таблицей. Решай в столбик, выписывая каждое действие отдельной строкой, — так ошибку будет видно сразу.

1. Найдите сумму первых шести членов прогрессии, если b₁ = 3, q = 2.
2. Найдите S₅, если b₁ = 1, q = −3.
3. Найдите сумму всех членов бесконечно убывающей прогрессии, если b₁ = 8, q = ½.
4. Найдите S₅, если b₁ = 2, q = 3.
5. Найдите S₁₀, если b₁ = 4, q = 1.
6. Известно, что b₂ = 6, b₃ = 12. Найдите сумму первых четырёх членов.

Если какие-то номера не сошлись, не переписывай решение целиком: найди строку, где числа разошлись с ответом, и пересчитай только её. Ещё один способ закрепить тему — решить пять похожих заданий подряд с автоматической проверкой: для этого достаточно открыть бесплатную практику в личном кабинете.

Что запомнить

Главное правило: Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1) при q ≠ 1, а при q = 1 сумма равна n · b₁. Для бесконечно убывающей прогрессии работает отдельная формула S = b₁ ÷ (1 − q), и её можно применять только после проверки условия |q| < 1.

Держи в голове три опоры: знаменатель ищется делением соседних членов, степень считается раньше остальных действий, а знак ответа при отрицательном q может быть любым — это не признак ошибки. Большинство провалов в этих задачах арифметические, а не идейные.

Полезно рядом держать справочные материалы: шпаргалку по тригонометрии для формул и повторение геометрии для ОГЭ, если готовишься к экзамену и хочешь освежить соседние темы.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: короткая серия задач на сумму прогрессии закрепит формулу лучше, чем десятикратное перечитывание теории.