ЕГЭ база: задание 13 — стереометрия

Что проверяет задание 13

Стереометрия в базовом ЕГЭ часто пугает рисунком, хотя вычисления обычно сводятся к знакомым формулам. Если научиться видеть тело, его высоту, основание и нужное сечение, ты сможешь решать такие задачи спокойно и по алгоритму. Разберём, как находить объём, площадь поверхности и длины элементов, не теряя баллы на невнимательности.

Чаще всего встречаются прямоугольный параллелепипед, куб, призма, цилиндр, пирамида и конус. Сначала определи тип тела, затем выпиши известные величины и только после этого подставляй числа. Не пытайся считать по рисунку «на глаз»: чертёж может быть не в масштабе.

Прямоугольный параллелепипед:
V = a · b · h
Sбок = 2h(a + b)

Например, при a = 3, b = 4 и h = 5 объём равен 3 · 4 · 5 = 60. Типичная ошибка — перепутать площадь поверхности с объёмом: у площади квадратные единицы, а у объёма кубические.

Если нужны дополнительные задания на пространственное мышление, посмотри разбор задания 18: он поможет увереннее читать сложные чертежи.

Главные формулы и план решения

Для призмы объём находят умножением площади основания на высоту: V = Sосн · h. У прямой призмы боковая поверхность состоит из прямоугольников, поэтому Sбок = Pосн · h. Полная поверхность равна сумме боковой поверхности и двух оснований.

У цилиндра основание — круг. Его площадь равна πr², а объём — πr²h. У пирамиды и конуса появляется множитель ⅓: объём равен одной трети произведения площади основания на высоту. Важно использовать именно перпендикулярную высоту, а не наклонное ребро или образующую.

Алгоритм:
1) определить тело;
2) найти площадь основания;
3) выбрать нужную формулу;
4) проверить единицы и ответ.

Пример: у цилиндра r = 2 и h = 6. Тогда V = π · 2² · 6 = 24π. Если в условии сказано, что π ≈ 3,14, можно получить 75,36.

Типичная ошибка — забыть возвести радиус в квадрат или взять диаметр вместо радиуса. Перед вычислением подпиши на рисунке: r, h, d = 2r.

Разобранный пример: объём пирамиды

Рассмотрим типичную задачу. Основание правильной четырёхугольной пирамиды — квадрат со стороной 6, высота пирамиды равна 8. Найдём её объём. Здесь не требуется вычислять боковые рёбра или апофему: для объёма нужны только площадь основания и перпендикулярная высота.

Дано:
a = 6, h = 8
Sосн = a² = 6² = 36
V = ⅓ · Sосн · h
V = ⅓ · 36 · 8 = 96
Ответ: 96

Разберём ход решения. Сначала квадратное основание: его площадь равна 36. Затем применяем формулу объёма пирамиды и делим произведение на 3. Ответ записываем с кубическими единицами, если они указаны в условии: 96 см³, м³ или другой вариант.

Если бы в задаче спрашивали площадь боковой поверхности, этот способ уже не подошёл бы: понадобились бы апофема и периметр основания. Значит, формулу выбирают по вопросу, а не по названию тела.

Частая ошибка — написать V = Sосн · h, как для призмы. Ещё одна — принять высоту боковой грани за высоту пирамиды. Высота должна быть перпендикулярна плоскости основания.

Сечения, диагонали и единицы

Иногда задание 13 требует сначала найти элемент прямоугольного параллелепипеда или призмы. Для прямоугольного треугольника используй теорему Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В пространстве диагональ параллелепипеда можно найти в два шага или сразу по трём измерениям.

Прямоугольный параллелепипед:
d² = a² + b² + h²
При a = 2, b = 3, h = 6:
d² = 4 + 9 + 36 = 49
d = 7

Представь диагональ как отрезок между противоположными вершинами. Сначала диагональ основания равна √(a² + b²), затем она вместе с высотой образует прямоугольный треугольник. Такой взгляд помогает не запоминать формулу механически.

После нахождения диагонали подставляй её в дальнейшее условие. Например, если нужно сравнить диагональ с ребром 5, получаем 7 > 5. Типичная ошибка — сложить длины без квадратов или извлечь корень только из одного слагаемого.

Проверь и единицы: если одно измерение дано в сантиметрах, а другое в метрах, сначала приведи их к одной системе.

Для тренировки задач, где нужно внимательно читать данные и таблицы, пригодится разбор заданий с графиками и таблицами.

Типичные ошибки и самопроверка

Первая ошибка — неверно прочитать условие: радиус, диаметр, высота и образующая обозначают разные отрезки. Вторая — применить формулу площади вместо формулы объёма. Третья — потерять множитель ⅓ у пирамиды или конуса. Четвёртая — округлить число слишком рано.

Пример самопроверки: цилиндр с диаметром 10 и высотой 3 имеет радиус 5, поэтому V = π · 5² · 3 = 75π, а не 300π. Оцени порядок ответа: объём должен быть положительным и больше объёма цилиндра с радиусом 1 при той же высоте.

Полезно пройти глазами решение ещё раз: тело, данные, формула, вычисления, единицы, ответ. В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих задачах и сразу увидеть, где возникла ошибка.

Что запомнить

Задание 13 решается увереннее, если действовать по порядку: распознай тело, выпиши величины, найди площадь основания, выбери формулу и проверь единицы. Для призмы и цилиндра объём равен Sосн · h, для пирамиды и конуса — ⅓ · Sосн · h.

Не забывай: у цилиндра площадь круга равна πr², радиус — половина диаметра, а пространственные диагонали часто находятся по теореме Пифагора. Если нужен объём, не вычисляй лишние боковые элементы.

Мини-памятка:
призма: V = Sосн · h
пирамида: V = ⅓ · Sосн · h
цилиндр: V = πr²h
площадь поверхности = сумма всех граней

Главная типичная ошибка — спешка: ученик узнаёт знакомое тело и сразу подставляет числа. Потрать минуту на проверку рисунка и обозначений. Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, чтобы закрепить алгоритм практикой.

Если решение пока занимает много времени, разбивай его на короткие действия и записывай каждое. Так стереометрия превращается не в угадывание, а в понятную последовательность.