Задание 18 ЕГЭ по математике (профиль): как решать

Что это за задание

Задание 18 второй части профильного ЕГЭ — уравнение, неравенство или система, в которых кроме переменной x есть параметр a. Вопрос звучит по-разному: решить задачу для всех значений параметра, найти значения a, при которых уравнение имеет заданное число корней, или определить, при каких a корни удовлетворяют дополнительному условию.

Главное отличие от обычного уравнения: ответ — не числа x, а описание множества значений параметра. Работают два подхода: аналитический — перебор случаев, и графический — картинка на плоскости. Понадобится уверенная база: квадратные уравнения и дискриминант, уравнения с модулем, графики функций.

Шаг 1. Решаем уравнение

Разберём типовой пример. Найдите все значения a, при которых уравнение

\( x^2 - (2a + 1)x + a^2 + a = 0 \)

имеет ровно один положительный корень. Это квадратное уравнение относительно x, и начнём с корней — выразим их через параметр. Считаем дискриминант:

\( D = (2a + 1)^2 - 4(a^2 + a) = 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a = 1 \)

1. D = 1 при любом a: уравнение всегда имеет два различных корня — случая «нет корней» здесь не будет.
2. Корни: x = (2a + 1 ± 1) / 2.
3. Раскрываем оба знака: x₁ = a, x₂ = a + 1.
4. Тот же результат даёт теорема Виета: произведение корней a(a + 1), сумма 2a + 1.

Корни найдены: они всегда есть и всегда различны. Осталась содержательная часть — понять, при каких a среди них ровно один положительный.

Шаг 2. Отбираем значения параметра

Корни — это a и a + 1, причём a + 1 больше a при любом a. Разбираем все случаи:

1. a > 0: оба корня положительны — условие «ровно один» не выполняется.
2. a = 0: корни 0 и 1 — ровно один положительный, подходит.
3. −1 < a < 0: корень a отрицателен, a + 1 положителен — подходит.
4. a = −1: корни −1 и 0 — положительных нет, не подходит.
5. a < −1: оба корня отрицательны, не подходит.

Условие выполняется в случаях 2 и 3, вместе они дают промежуток:

a ∈ (−1; 0]

Ответ: a ∈ (−1; 0]. Каждый случай обоснован, граничные значения a = 0 и a = −1 проверены отдельно — именно на границах чаще всего теряют баллы.

Графический подход

Второй путь — геометрический. Уравнение с параметром можно рассматривать как семейство кривых: либо рисовать график функции при разных a в плоскости xOy, либо перейти в плоскость xOa и считать точки пересечения линии с прямыми a = const.

Графический подход особенно выгоден, когда спрашивают про число корней: «ровно один», «ровно два», «ровно три». Модуль и квадратный трёхчлен дают ломаные и параболы, и количество пересечений видно почти сразу — этому помогает умение читать графики функций. Но картинка — только план: координаты ключевых точек всё равно находят вычислениями, иначе решение не считается обоснованным.

Как оформить и за что снимают баллы

Задача с параметром оценивается по критериям, и полный балл получает только полное обоснование. Типичные потери:

1. Пропущены граничные значения параметра — в примере это a = 0 и a = −1.
2. Обоснование одностороннее: показано, что при найденных a условие выполняется, но не доказано, что других a нет.
3. Потеряна область определения: знаменатели, корни чётной степени, ограничения под модулем.
4. Графическое решение без вычислений координат опорных точек.
5. В ответе указаны корни x вместо значений параметра a.

Параметр — самая «взрослая» задача школьного ЕГЭ, но собирается она из простых деталей: дискриминант, разбор случаев, аккуратные границы. По второй части читай также планиметрию в задании 17 и числа и их свойства в задании 19. Если квадратные уравнения ещё требуют тренировки, начни с базы — квадратные неравенства методом интервалов. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.