Математика 8 класс: неравенства и функции

Разберись, что означают неравенства

Если в задаче встречаются знаки <, >, ≤ или ≥, легко запутаться и получить неверный ответ. Здесь ты с нуля поймёшь, как сравнивать выражения и решать неравенства по шагам.

Неравенство показывает, что одно число больше или меньше другого. Например, 7 > 3, а 2x + 1 ≤ 9. Буква x называется переменной. Решить неравенство — значит найти все значения x, при которых оно верно.

Основное правило похоже на правило для уравнений: к обеим частям можно прибавлять или вычитать одно и то же число, а также умножать или делить на одно и то же положительное число. Знак при этом сохраняется.

\( x + 4 > 10 \)
x > 10 − 4
x > 6

Ответ: все числа, которые больше 6. На координатной прямой это луч вправо от точки 6. Сама точка не закрашивается, потому что 6 не подходит.

Научись решать линейные неравенства

Линейное неравенство содержит переменную только в первой степени. Его удобно упрощать почти так же, как линейное уравнение: раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, перенести известные числа в одну часть.

3x − 5 ≤ 10
3x ≤ 15
x ≤ 5

Здесь мы разделили обе части на 3, а это положительное число, поэтому знак не изменился. Если коэффициент перед x отрицательный, знак обязательно переворачивается.

\( -2x + 7 > 1 \)
−2x > −6
x < 3

Вторая строка получена после вычитания 7. Затем обе части разделили на −2, поэтому > превратился в <. Ответ можно записать промежутком: x ∈ (−∞; 3).

Для дополнительной практики удобно открыть бесплатный личный кабинет «Просто Урок» и решить несколько похожих примеров сразу после разбора.

Пойми, как работают системы и двойные неравенства

Система неравенств требует, чтобы выполнялись оба условия одновременно. Поэтому нужно найти пересечение решений. Например, если x > 2 и x ≤ 6, подходят числа больше 2, но не больше 6.

x > 2
x ≤ 6
Ответ: 2 < x ≤ 6

Двойное неравенство читается слева направо: 2 < x ≤ 6 означает, что x находится между 2 и 6. Число 2 не входит в ответ, а число 6 входит.

Если условия противоречат друг другу, решений нет. Например, x < 1 и x ≥ 4 не могут выполняться одновременно. Если одно условие полностью включает другое, берём более узкое.

Запись	Что входит в ответ
x > 3	Числа больше 3
x ≥ 3	Числа от 3 и больше
x < 3	Числа меньше 3
x ≤ 3	Числа от 3 и меньше

На прямой открытая точка означает строгий знак, а закрашенная — нестрогий.

Свяжи функцию с таблицей и графиком

Функция — правило, по которому каждому значению x соответствует значение y. В 8 классе часто встречается линейная функция y = kx + b. Число k задаёт наклон графика, а b показывает, где прямая пересекает ось y.

Чтобы построить график, достаточно найти две точки. Подставь удобные значения x, вычисли y и отметь получившиеся пары координат.

\( y = 2x - 1 \)
x = 0 → y = −1, точка (0; −1)
x = 2 → y = 3, точка (2; 3)

Через две точки проведи прямую. Если k > 0, функция возрастает: при увеличении x значение y растёт. Если k < 0, функция убывает.

График помогает решать задачи на сравнение. Например, по нему можно определить, при каких x функция положительна: нужно найти часть графика выше оси x. Приближённые значения отмечают знаком ≈.

В бесплатном разделе практики «Просто Урок» можно потренироваться читать таблицы и графики без спешки.

Избегай ошибок в знаках и графиках

Самая частая ошибка — забыть перевернуть знак при делении или умножении на отрицательное число. Запомни короткую проверку: отрицательное число меняет направление сравнения.

−3x ≤ 12
x ≥ −4

Ещё одна ошибка — потерять скобки при раскрытии. Если перед скобками стоит минус, знаки внутри меняются.

\( 5 - (x + 2) > 1 \)
5 − x − 2 > 1
3 − x > 1
−x > −2
x < 2

В задачах с функцией не путай координаты: сначала идёт x, затем y. Полезно записывать найденные точки парами и только потом переносить их на рисунок.

Что запомнить и что сделать дальше

Неравенство имеет множество решений, а не одно число. При переносе слагаемых знак сам по себе не меняется. При делении или умножении на отрицательное число знак переворачивается. В системе берём общую часть решений.

Для линейной функции y = kx + b важно понимать роль коэффициентов: k отвечает за направление и наклон прямой, b — за пересечение с осью y. График можно построить по двум точкам, а затем использовать для анализа.

Перед сдачей решения проверь три вещи: правильно ли раскрыты скобки, изменился ли знак при отрицательном делителе, подходит ли найденное число исходному условию.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После практики станет видно, какая часть уже понятна, а какую стоит повторить.

К концу темы ты должен уметь решать линейные неравенства, изображать ответы на прямой, находить пересечение решений системы, строить прямую по двум точкам и читать свойства функции по её формуле и графику.