Математика 9 класс: прогрессии и вероятность

Как разобраться в прогрессиях с нуля

Если в задачах теряются числа, индексы и непонятные формулы, прогрессии можно разложить на несколько простых шагов. Разберём, как находить члены последовательности, сумму и неизвестные значения без заучивания вслепую.

Последовательность — это числа, записанные по порядку: 3, 6, 9, 12, … У каждого числа есть номер, или индекс: a₁ — первый член, a₂ — второй, aₙ — член с номером n.

Арифметическая прогрессия получается, когда к каждому числу прибавляют одно и то же значение. Это значение называют разностью и обозначают d. Например, в последовательности 5, 8, 11, 14 разность равна 3.

Геометрическая прогрессия устроена иначе: каждый следующий член получают умножением на одно и то же число q. Например, 2, 6, 18, 54 — геометрическая прогрессия со знаменателем q = 3.

Сначала определи тип последовательности: одинаковая разность означает арифметическую прогрессию, одинаковое отношение соседних членов — геометрическую. Если между числами нет понятного правила, выпиши несколько переходов подряд.

Арифметическая: 4, 9, 14, 19 → d = 5
Геометрическая: 3, 12, 48, 192 → q = 4

Как находить любой член прогрессии

В арифметической прогрессии каждый шаг добавляет d. Поэтому n-й член можно найти так: aₙ = a₁ + d · (n − 1). Число n − 1 показывает, сколько переходов нужно сделать от первого члена до нужного.

В геометрической прогрессии каждый шаг означает умножение на q. Формула выглядит так: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹. Степень тоже равна числу переходов от первого члена.

Задача. Найдём a₇ в прогрессии 2, 5, 8, …
\( a_1 = 2, d = 3, n = 7 \)
\( a_7 = 2 + 3 \cdot (7 - 1) = 2 + 18 = 20 \)

Задача. Найдём b₅ в прогрессии 3, 6, 12, …
\( b_1 = 3, q = 2, n = 5 \)
\( b_5 = 3 \cdot 2^5^-^1 = 3 \cdot 2^4 = 48 \)

Обрати внимание: в обеих формулах используется n − 1, а не n. Первый член уже стоит на своём месте, поэтому переходов до него нет.

Как быстро считать сумму нескольких членов

Сумма первых n членов арифметической прогрессии находится по формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) · n ÷ 2. Она удобна, если известны первый и последний члены.

Если последний член не дан, сначала вычисли его формулой aₙ = a₁ + d · (n − 1). Можно также использовать запись Sₙ = (2a₁ + d · (n − 1)) · n ÷ 2.

Задача. Найдём сумму первых 10 членов: 4, 7, 10, …
\( a_1 = 4, d = 3, n = 10 \)
\( a_1_0 = 4 + 3 \cdot 9 = 31 \)
\( S_1_0 = (4 + 31) \cdot 10 \div 2 = 175 \)

Для геометрической прогрессии при q ≠ 1 используют формулу Sₙ = b₁ · (qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Если q = 1, все члены одинаковы, поэтому Sₙ = b₁ · n.

Задача. Найдём сумму 2 + 6 + 18 + 54.
\( b_1 = 2, q = 3, n = 4 \)
\( S_4 = 2 \cdot (3^4 - 1) \div (3 - 1) = 2 \cdot 80 \div 2 = 80 \)

В школьной жизни арифметическая прогрессия встречается в равных еженедельных накоплениях, а геометрическая — в последовательном увеличении в несколько раз.

Закрепить формулы можно в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок», решая короткие задания сразу после теории.

Как понимать вероятность, а не угадывать

Вероятность показывает, насколько возможно событие. В простом случае все исходы равновероятны, и вероятность считают так: P(A) = число благоприятных исходов ÷ число всех исходов.

Например, у обычного кубика 6 граней. Событие «выпало число 4» имеет один благоприятный исход из шести, поэтому его вероятность равна 1⁄6. Событие «выпало чётное число» имеет три исхода: 2, 4 и 6.

P(чётное число) = 3 ÷ 6 = 1⁄2

Вероятность невозможного события равна 0, а достоверного — 1. Любая другая вероятность находится между 0 и 1. В процентах это диапазон от 0% до 100%.

Для противоположного события используют правило P(не A) = 1 − P(A). Если вероятность дождя равна 0,3, вероятность того, что дождя не будет, равна 0,7.

Для независимых событий «и» вероятности перемножают, а для несовместимых событий «или» складывают. Важно сначала понять, могут ли события произойти одновременно.

Монета и кубик: P(орёл и шестёрка) = 1⁄2 · 1⁄6 = 1⁄12

Как решать задачи и не попадаться в ловушки

Начинай с описания всех возможных исходов. В задаче с двумя монетами это орёл — орёл, орёл — решка, решка — орёл, решка — решка. Всего четыре равновероятных исхода.

P(ровно один орёл) = 2 ÷ 4 = 1⁄2

В прогрессиях часто ошибаются, принимая первый член за нулевой. Если спрашивают десятый член, подставляй n = 10, а в степени или множителе переходов будет 9.

Полезно проверять ответ здравым смыслом. Вероятность не может быть больше 1, сумма первых положительных членов не должна оказаться отрицательной, а при q > 1 члены геометрической прогрессии обычно растут.

Ситуация	Действие
Одинаковая прибавка	Используй d и формулу арифметической прогрессии
Одинаковое умножение	Используй q и формулу геометрической прогрессии
Несколько равных исходов	Посчитай благоприятные исходы и раздели на общее число

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренировать именно те типы задач, где чаще всего появляется ошибка.

Что запомнить и что сделать дальше

Арифметическая прогрессия меняется на одну и ту же разность: aₙ = a₁ + d · (n − 1). Геометрическая прогрессия каждый раз умножается на один и тот же знаменатель: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹.

Сумма арифметической прогрессии равна полусумме первого и последнего членов, умноженной на их количество. Для вероятности сначала находят все равновозможные исходы, затем выделяют благоприятные.

Перед решением задачи задай себе три вопроса: что известно, какой тип правила работает, какую формулу нужно применить. После вычислений проверь диапазон и смысл ответа.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. Так формулы перейдут из памяти на бумагу, а слабые места станут заметны без лишнего напряжения.

К концу темы ты должен уметь находить n-й член и сумму прогрессии, определять d и q, считать вероятность простого события, использовать противоположное событие и отличать независимые события от несовместимых.