ОГЭ: повторение задания 21

ОГЭ: повторение задания 21

Задание 21 часто кажется знакомым: нужно решить уравнение, а значит, достаточно вспомнить несколько формул. На практике баллы теряются из-за области допустимых значений, знаков и неполной записи ответа. Разберём задание по шагам, научимся видеть тип уравнения и проверять корни без спешки. После повторения тебе будет проще уверенно решать не только № 21, но и связанные задания первой части.

В ОГЭ обычно встречаются линейные, квадратные, дробно-рациональные и иногда уравнения, которые сводятся к квадратным. Главное правило: сначала определи вид выражения, затем выбери способ решения. Не начинай механически раскрывать скобки, пока не понял, какие ограничения есть у переменной.

Вид уравнения	Что повторить	Главный контроль
Линейное	Перенос слагаемых, приведение подобных	Коэффициент при x не равен нулю
Квадратное	Дискриминант, формулы корней	Знаки b и c
Дробно-рациональное	ОДЗ, общий знаменатель	Проверка корней в исходном уравнении
Сводимое к квадратному	Замена переменной	Возврат к исходной переменной

Если повторяешь соседние номера, полезно освежить задание 19 и задание 20: внимательная работа с условиями и преобразованиями пригодится и здесь.

Как определить способ решения

Сначала перенеси все слагаемые в одну часть или приведи уравнение к стандартному виду. Для квадратного уравнения это ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Если b или c отсутствует, не обязательно использовать дискриминант: неполное квадратное уравнение часто решается быстрее разложением на множители или извлечением корня.

Если переменная находится в знаменателе, выпиши ОДЗ до преобразований. Например, для выражения 3⁄(x − 2) сразу записываем x ≠ 2. После умножения на общий знаменатель полученное уравнение может иметь лишний корень, поэтому финальная проверка обязательна.

Иногда встречается замена: x² + 5x можно обозначить новой переменной только тогда, когда одинаковое выражение повторяется в нескольких местах. Для корней квадратного уравнения используй формулы:

\( D = b^2 - 4ac \)
\( x_1 = (-b + \sqrt{D}) : 2a \)
\( x_2 = (-b - \sqrt{D}) : 2a \)

При D < 0 действительных корней нет, при D = 0 корень один. Перед вычислениями оцени знаки: это помогает заметить ошибку ещё до окончания решения.

Разобранный пример

Решим уравнение с дробями и покажем полный порядок действий. Такой формат записи удобен на экзамене: проверяющий видит логику, а ты не теряешь промежуточные вычисления.

\( 2⁄(x - 1) + 1⁄(x + 1) = 3⁄(x^2 - 1) \)
ОДЗ: x ≠ 1, x ≠ −1
\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)
Умножим обе части на (x − 1)(x + 1):
\( 2(x + 1) + (x - 1) = 3 \)
\( 2x + 2 + x - 1 = 3 \)
\( 3x + 1 = 3 \)
\( 3x = 2 \)
\( x = ⅔ \)
Проверка: ⅔ не равно 1 и −1, значит, корень допустим.
Ответ: ⅔

Обрати внимание: нельзя было сразу умножать на выражение x² − 1, не записав ограничения. В данном примере всё прошло корректно, но другой пример мог привести к значению x = 1 или x = −1, а такие числа пришлось бы исключить.

После получения ответа подставь его хотя бы в исходное уравнение. Для дробей можно проверить обе части отдельно. Если вычисления неудобны, используй общий знаменатель или десятичную оценку: ⅔ примерно равно 0,67.

Бесплатная практика в личном кабинете поможет закрепить именно такую последовательность: ОДЗ, преобразование, решение, проверка.

Типичные ошибки на экзамене

Первая ошибка — потеря скобок при переносе. Изменение знака относится ко всему слагаемому: −(x − 4) = −x + 4. Вторая — неверное раскрытие квадрата суммы: (a + b)² = a² + 2ab + b², а не a² + b². Третья — пропуск коэффициента 2a в знаменателе формулы корней.

Четвёртая ошибка связана с сокращением дробей. Сокращать можно только множители, но не слагаемые: (x² − 4)⁄(x − 2) можно преобразовать через разложение x² − 4 = (x − 2)(x + 2), однако условие x ≠ 2 сохраняется.

Пятая проблема — ответ записан без проверки. Особенно внимательно проверяй корни после возведения в квадрат, умножения на переменное выражение и сокращения дробей. Эти действия могут изменить множество решений.

Если сомневаешься в дискриминанте, вычисли его отдельно и перепроверь умножение 4ac. Знак перед b² всегда положительный, потому что число b возводится в квадрат.

Как решать быстрее и аккуратнее

На черновике раздели решение на короткие этапы. Сначала перепиши уравнение без спешки и отметь ОДЗ. Затем выбери общий знаменатель или приведи выражение к квадратному виду. После этого выполни вычисления и выдели ответ. Такая структура снижает вероятность пропустить ограничение.

Не обязательно каждый раз применять дискриминант. Уравнение x² − 9 = 0 сразу даёт x² = 9, поэтому x = 3 или x = −3. В уравнении x² + 6x + 9 = 0 удобно увидеть полный квадрат: (x + 3)² = 0. Но если разложение не видно за несколько секунд, переходи к надёжной формуле.

Полезно оценивать результат. Если произведение двух положительных множителей равно отрицательному числу, положительный корень невозможен. Если x² = 2⅓, корни должны быть примерно ±1,53, а не 2⅓. Оценка не заменяет решение, но быстро обнаруживает грубую ошибку.

Перед сдачей проверь три пункта: все ли преобразования записаны, входят ли корни в ОДЗ, совпадает ли число ответов с характером уравнения. Несколько минут на контроль часто ценнее, чем поспешный переход к следующему номеру.

В бесплатной тренировке можно решать задания в удобном темпе и возвращаться к ошибкам, а не просто смотреть готовый ответ.

Что запомнить

Задание 21 проверяет не одну формулу, а умение управлять решением. Сначала определи вид уравнения. Для дробей запиши ОДЗ. Приводи выражения к стандартному виду аккуратно, следи за знаками и скобками. Для квадратного уравнения используй D = b² − 4ac или более короткий способ, если он очевиден. Каждый найденный корень проверь в исходной записи.

Мини-алгоритм: 1) ОДЗ; 2) преобразования; 3) решение; 4) проверка; 5) ответ. Не сокращай слагаемые и не забывай, что при x² = a возможны два значения, если a > 0: x = √a и x = −√a.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После каждого примера отмечай, на каком этапе возникла ошибка: в ОДЗ, формуле, вычислениях или проверке. Так повторение превращается в понятную тренировку, а не в механическое заучивание.