Просто УрокОГЭ: повторение задания 22–23
Разберём «ОГЭ: повторение задания 22–23» так, чтобы тема наконец встала на место: короткая теория, наглядный пример, алгоритм и ошибки, на которых теряют баллы. В конце — что запомнить и где закрепить на практике.
Что проверяют задания 22–23
Задания 22–23 часто становятся местом, где теряются баллы не из-за сложной математики, а из-за неуверенности в геометрии: непонятно, с чего начать доказательство, какую формулу выбрать и как оформить решение. Научись видеть связи между углами, треугольниками и окружностью, а затем спокойно отрабатывать шаги — и эти задания перестанут выглядеть как набор случайных линий.
В задании 22 обычно требуется доказать геометрическое утверждение. Здесь важны логика и последовательность: недостаточно написать правильный ответ, нужно объяснить, почему он верен. В задании 23 чаще нужно выполнить вычисления по чертежу: найти длину, площадь, угол или другой элемент фигуры.
Перед повторением полезно освежить алгебраическую часть экзамена: посмотри материалы про задание 20 и задание 21. Это поможет не смешивать методы и распределять время на экзамене.
Главная привычка для обоих заданий — сначала внимательно прочитать условие и отметить на рисунке все известные данные. Не доверяй внешнему виду чертежа: угол может казаться прямым, а отрезки — равными, но использовать это можно только при наличии соответствующего условия.
Задание 22: как строить доказательство
Доказательство удобно вести по цепочке «дано → известно → получаем → доказываем». Сначала выпиши, какие элементы связаны между собой. Затем найди признак равенства или подобия треугольников, свойства параллельных прямых, равнобедренного треугольника или окружности.
Например, если нужно доказать равенство двух отрезков, не пытайся сразу сравнивать их длины. Найди треугольники, в которые они входят. Возможно, у треугольников есть общая сторона, равные углы или равные стороны. После установления равенства треугольников нужные отрезки окажутся равными как соответствующие элементы.
Если в условии есть параллельные прямые, вспомни накрест лежащие и соответственные углы. Если есть биссектриса, используй равенство прилежащих углов. Для равнобедренного треугольника работают равенство боковых сторон и углов при основании.
Пример схемы доказательства:
AB = AC → треугольник ABC равнобедренный
∠ABC = ∠BCA → углы при основании равны
если BD — биссектриса ∠ABC, то ∠ABD = ∠DBC
∠ABD = ∠BCA и ∠DBC = ∠ABC → треугольники подобны
Пиши не только название признака, но и конкретные равенства углов или сторон, на которые опираешься. Так решение становится проверяемым и логически завершённым.
Задание 23: вычисления по чертежу
Вычислительное задание начинается с перевода рисунка на язык формул. Определи фигуру, подпиши известные величины и только потом выбирай способ решения. Для треугольника могут пригодиться сумма углов, теорема Пифагора, формула площади или свойства подобных фигур.
Если треугольник прямоугольный, проверь, какой угол равен 90°. Тогда для катетов a и b и гипотенузы c действует формула a² + b² = c². Площадь прямоугольного треугольника равна ½ab. Для параллелограмма используй S = ah, для трапеции — S = ½(a + b)h.
При подобии треугольников соответствующие стороны пропорциональны. Если коэффициент подобия равен k, то длины относятся как k, а площади — как k². Это место особенно важно: площадь не увеличивается просто в k раз.
| Что нужно найти | Полезное свойство | Проверка |
|---|---|---|
| Сторону | Пифагор, подобие, периметр | Единицы длины |
| Площадь | Основание × высота, ½ah | Квадратные единицы |
| Угол | Сумма углов, параллельность | Сумма углов треугольника 180° |
Вычисления записывай по порядку. Даже если часть решения выполняется устно, промежуточная строка поможет заметить ошибку со знаком, корнем или единицами.
Полный разбор примера
Разберём типичную ситуацию: в прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 6, BC = 8. Требуется найти AB и площадь треугольника. Сначала определяем, что AB — гипотенуза, потому что она лежит напротив прямого угла. Затем применяем теорему Пифагора.
\( AB^2 = AC^2 + BC^2 \)
\( AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( AB = \sqrt{1}00 = 10 \)
\( S = ½ \times AC \times BC \)
\( S = ½ \times 6 \times 8 = 24 \)
Ответ: AB = 10, S = 24
Обрати внимание на порядок действий. Мы не подставляли стороны в формулу наугад, а сначала определили роль каждого отрезка. В конце проверяем результат: 6, 8 и 10 образуют известную пифагорову тройку, а площадь имеет квадратные единицы.
Если в условии встречается дробь или смешанное число, сначала аккуратно преобразуй запись: 2⅓ = 7⁄3, ¾ = 0,75. Не округляй промежуточные значения без необходимости. Корень √50 можно оставить в виде 5√2, если точное значение не требуется.
После разбора попробуй решить похожие варианты в личном кабинете: там удобно возвращаться к ошибкам и повторять нужный тип чертежа.
Типичные ошибки и самопроверка
Первая ошибка — использование свойства, которого нет в условии. Рисунок не доказывает равенство сторон или перпендикулярность. Вторая — перепутанные соответствующие элементы при подобии. Составь пары вершин и проверь, напротив каких углов лежат стороны.
Третья ошибка связана с высотой. Высота — это перпендикуляр, а не любая сторона фигуры. В параллелограмме высота может выходить за пределы основания, поэтому ориентируйся на прямой угол, а не на положение линии на картинке.
Не записывай «очевидно» вместо аргумента. Фраза «углы равны» должна сопровождаться причиной: вертикальные, накрест лежащие при параллельных прямых, углы равнобедренного треугольника или результат доказанного равенства.
Перед сдачей проверь три вещи: ответ соответствует вопросу, единицы измерения не потеряны, каждая важная строка имеет основание. В доказательстве перечитай переходы между утверждениями, а в вычислении сделай обратную проверку по формуле.
Для закрепления можно использовать бесплатную практику: реши несколько задач с разными чертежами и отметь, на каком шаге возникло затруднение.
Что запомнить
Задание 22 решай через последовательное доказательство: найди равные углы или стороны, выбери признак равенства либо подобия и укажи соответствующие элементы. Задание 23 начинай с анализа фигуры: определи прямой угол, основание, высоту и нужную формулу.
Главные формулы, которые стоит держать в памяти: a² + b² = c²; S = ½ah; S параллелограмма = ah; сумма углов треугольника равна 180°. Помни также, что при подобии стороны умножаются на k, а площади — на k².
Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждой попытки сравни не только ответ, но и ход решения: именно так формируется уверенность перед экзаменом.
Как закрепить тему после разбора?
Реши несколько задач двух типов: одну на доказательство и одну на вычисления. Затем выпиши ошибку, если она появилась, и сформулируй правило своими словами. Через день повтори решение без подсказки, а затем проверь себя на новом чертеже.
Можно ли пользоваться рисунком как доказательством?
Нет. Чертёж помогает увидеть связи, но равенство сторон, углов или перпендикулярность нужно подтвердить условием или теоремой.
Что делать, если не получается начать доказательство?
Выпиши все данные и отдельно отметь, что требуется доказать. Затем найди фигуры, содержащие нужные отрезки или углы, и проверь признаки равенства и подобия треугольников.
Как не ошибиться в формуле площади?
Проверь, какая сторона является основанием и где находится высота к ней. Высота должна быть перпендикулярна основанию, а результат площади выражается в квадратных единицах.
Закрепить тему на практике
Теория без практики забывается за неделю. В личном кабинете Просто Урок — задания именно по этой теме с проверкой каждого шага. Регистрация бесплатная.