Просто УрокОсновные тригонометрические тождества: шпаргалка
«Основные тригонометрические тождества: шпаргалка» — тема, где важно не знание, а аккуратность. Показываем по шагам: что делать, в каком порядке, и где обычно срываются.
Как быстро ориентироваться в тригонометрических формулах
Тригонометрия часто пугает несложностью вычислений, а количеством похожих формул: легко перепутать знак или выбрать не тот переход. Эта шпаргалка соберёт основные тождества в одном месте и покажет, какую формулу применять в типичной школьной задаче.
Тождество — это равенство, верное при всех допустимых значениях переменной. Важно помнить ограничения: тангенс не существует там, где cos α = 0, а котангенс — там, где sin α = 0.
\( \sin ^2 \alpha + \cos ^2 \alpha = 1 \)
Главное тождество: по известному синусу находи косинус и наоборот.
\( \tg \alpha = \sin \alpha ⁄\cos \alpha \)
Применяй, когда нужно заменить тангенс отношением синуса к косинусу.
\( \ctg \alpha = \cos \alpha ⁄\sin \alpha \)
Используй для перехода от котангенса к синусу и косинусу.
\( \tg \alpha \cdot \ctg \alpha = 1 \)
Удобно, если в выражении одновременно встречаются тангенс и котангенс.
Начинай решение с определения известных величин и области допустимых значений. Не раскрывай все скобки подряд: сначала ищи пару sin² α + cos² α или взаимно обратные tg α и ctg α.
Перед преобразованием подпиши, какие величины уже известны. Так ты не подставишь формулу для тангенса туда, где знаменатель равен нулю.
Базовые тождества и быстрые преобразования
Главное тождество помогает восстановить неизвестную функцию, но знак выбирается по четверти или условию задачи. Например, если sin α = 3⁄5 и угол острый, то cos α = 4⁄5. Если четверть не указана, возможны два знака: cos α = ±4⁄5.
\( 1 + \tg ^2 \alpha = 1⁄\cos ^2 \alpha \)
Применяй, если в условии есть тангенс и нужно получить квадрат косинуса.
\( 1 + \ctg ^2 \alpha = 1⁄\sin ^2 \alpha \)
Используй при выражениях с котангенсом и квадратом синуса.
\( \sin ^2 \alpha = 1 - \cos ^2 \alpha \)
Подходит для замены квадрата синуса через косинус.
\( \cos ^2 \alpha = 1 - \sin ^2 \alpha \)
Подходит для замены квадрата косинуса через синус.
\( \tg ^2 \alpha = \sin ^2 \alpha ⁄\cos ^2 \alpha \)
Раскрывай квадрат тангенса, когда дальнейшее сокращение идёт через sin² и cos².
Пример: упростим выражение 1 − sin² α. По главному тождеству сразу получаем cos² α. Не нужно находить сам угол или использовать таблицу значений.
Для короткой практики можно открыть бесплатный тренажёр в личном кабинете «Просто Урок» и проверить себя на похожих преобразованиях.
Знаки, чётность и периодичность функций
Знаки тригонометрических функций зависят от четверти координатной плоскости. В первой четверти положительны все функции, во второй положителен только синус, в третьей — тангенс и котангенс, в четвёртой — косинус. Это правило особенно важно при работе с углами больше 90°.
\( \sin (-\alpha ) = -\sin \alpha \)
Синус — нечётная функция: минус перед углом сохраняется.
\( \cos (-\alpha ) = \cos \alpha \)
Косинус — чётная функция: знак угла исчезает.
\( \tg (-\alpha ) = -\tg \alpha \)
Тангенс меняет знак при смене направления угла.
\( \ctg (-\alpha ) = -\ctg \alpha \)
Котангенс также является нечётной функцией.
\( \sin (\alpha + 2\pi ) = \sin \alpha , \cos (\alpha + 2\pi ) = \cos \alpha \)
Синус и косинус повторяются через полный оборот.
\( \tg (\alpha + \pi ) = \tg \alpha , \ctg (\alpha + \pi ) = \ctg \alpha \)
Тангенс и котангенс повторяются через половину оборота.
Пример: cos(−60°) = cos 60° = 1⁄2. А sin(−30°) = −sin 30° = −1⁄2. Сначала убери минус по правилу чётности, затем используй табличное значение.
Формулы сложения и разности углов
Эти формулы нужны, когда угол представлен суммой или разностью известных углов: 75° = 45° + 30°, 15° = 45° − 30°. Не смешивай знаки: у синуса знак между произведениями сохраняется, а у косинуса меняется.
\( \sin (\alpha + \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta + \cos \alpha \cdot \sin \beta \)
Применяй для синуса суммы двух углов.
\( \sin (\alpha - \beta ) = \sin \alpha \cdot \cos \beta - \cos \alpha \cdot \sin \beta \)
Применяй для синуса разности углов.
\( \cos (\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta - \sin \alpha \cdot \sin \beta \)
Запомни минус перед вторым произведением.
\( \cos (\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cdot \cos \beta + \sin \alpha \cdot \sin \beta \)
В разности косинусов между произведениями появляется плюс.
\( \tg (\alpha + \beta ) = (\tg \alpha + \tg \beta )⁄(1 - \tg \alpha \cdot \tg \beta ) \)
Используй, если известны тангенсы обоих углов и знаменатель не равен нулю.
\( \tg (\alpha - \beta ) = (\tg \alpha - \tg \beta )⁄(1 + \tg \alpha \cdot \tg \beta ) \)
Подходит для тангенса разности.
Например, sin 75° = sin(45° + 30°). Подставь табличные значения и получишь (√6 + √2)⁄4. Важно раскрывать формулу полностью, не заменяя sin(α + β) произведением синусов.
Неверно: sin(α + β) = sin α + sin β. Сумма углов превращается в сумму двух произведений, а не в сумму функций.
Двойной угол и полезные формы
Формулы двойного угла сокращают выражения, где встречается 2α. Выбирай форму по тому, какая функция уже есть в условии. Если дан только синус, удобнее форма через sin²; если косинус — форма через cos².
\( \sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha \)
Применяй для произведения синуса и косинуса одного угла.
\( \cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \)
Используй для разности квадратов косинуса и синуса.
\( \cos 2\alpha = 2cos^2 \alpha - 1 \)
Выбирай, когда выражение содержит cos² α.
\( \cos 2\alpha = 1 - 2sin^2 \alpha \)
Выбирай, когда выражение содержит sin² α.
\( \tg 2\alpha = 2tg \alpha ⁄(1 - \tg ^2 \alpha ) \)
Используй для тангенса двойного угла, если знаменатель допустим.
\( \sin ^2 \alpha = (1 - \cos 2\alpha )⁄2, \cos ^2 \alpha = (1 + \cos 2\alpha )⁄2 \)
Применяй для перехода от квадрата функции к косинусу двойного угла.
Пример: 2sin 30°cos 30° = sin 60°. А 1 − 2sin² 30° = cos 60° = 1⁄2. Такие переходы особенно полезны при упрощении и доказательстве тождеств.
После разбора попробуй несколько однотипных примеров в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок»: повторение сразу показывает, какое правило пока путается.
Что запомнить перед самостоятельной работой
Основная опора — sin² α + cos² α = 1. Из неё выводятся связи с тангенсом и котангенсом. Для отрицательных углов запоминай чётность: синус и тангенс меняют знак, косинус знак сохраняет. Для суммы и разности раскрывай угол по формуле, а для 2α выбирай удобную форму двойного угла.
| Ситуация | Первая формула |
|---|---|
| Есть sin² и cos² | sin² α + cos² α = 1 |
| Есть tg и cos | tg α = sin α⁄cos α |
| Есть сумма углов | Формулы сложения |
| Есть 2α | Формулы двойного угла |
Алгоритм простой: определи вид выражения, выпиши подходящее тождество, проверь допустимые значения и только потом сокращай. Зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы закрепить формулы на практике.
Частые вопросы
Как закрепить тему после разбора?
Открой бесплатный личный кабинет «Просто Урок» и пройди тренажёр по тригонометрическим тождествам. Решай задания небольшими сериями и после каждой ошибки возвращайся к конкретной формуле.
Как выбрать знак корня?
Определи четверть, в которой находится угол, или используй условие задачи. Без этой информации знак может быть не единственным.
Когда применять формулы сложения?
Когда угол можно представить как сумму или разность известных углов, например 15° = 45° − 30°.
Что делать, если формулы путаются?
Сгруппируй их по задачам: базовые тождества, знаки, сложение и двойной угол. Затем реши по одному простому примеру на каждый блок.
Не оставляйте тему «прочитанной»
Понимание — половина дела. Вторая половина — практика с обратной связью: личный кабинет Просто Урок покажет, где вы ошибаетесь, и подтянет слабые места.