Памятка: неравенства

Неравенства: что нужно понять

Неравенства часто пугают несложными вычислениями, а сменой привычного знака «равно» на >, <, ≥ или ≤. Главная цель этой памятки — помочь тебе уверенно решать такие задания, не терять знак и быстро проверять ответ. Если хочется сразу потренироваться после теории, загляни в личный кабинет с бесплатной практикой.

Неравенство сравнивает два выражения. Его решением называют все значения переменной, при которых сравнение верно. Например, для x > 3 подходят 4, 10 и 3,5, но не подходят 3 и 1.

Знаки читаются так: «больше» — >, «меньше» — <, «больше или равно» — ≥, «меньше или равно» — ≤. Знак равенства входит в решение только там, где указано «или равно».

\( x + 4 > 9 \)
x > 5
Ответ: x ∈ (5; +∞)

На числовой прямой открытая точка означает, что граница не входит в ответ, а закрашенная — что входит. Так, x ≥ 2 записывают лучом вправо с закрашенной точкой в 2.

Линейное неравенство по шагам

Линейное неравенство содержит переменную в первой степени: 3x − 7 < 8, 5 − 2x ≥ 11. Решай его почти так же, как линейное уравнение, но постоянно следи за знаком.

Сначала раскрой скобки и приведи подобные слагаемые. Затем перенеси слагаемые с переменной в одну сторону, а числа — в другую. После этого раздели обе части на коэффициент при переменной. Если коэффициент положительный, знак сохраняется. Если отрицательный, знак меняется на противоположный.

−4x > 12 → x < −3
6x ≤ 18 → x ≤ 3

Почему знак меняется? Умножение или деление на отрицательное число меняет порядок чисел на числовой прямой: из 2 < 5 получается −2 > −5. Это правило действует независимо от того, решаешь ты простое неравенство или большое выражение со скобками.

Разобранный пример

Решим неравенство со скобками и отрицательным коэффициентом. Важно записывать преобразования по строкам: так проще увидеть, где именно изменился знак.

\( 3(2x - 1) - 4 \le 5x + 7 \)
\( 6x - 3 - 4 \le 5x + 7 \)
\( 6x - 7 \le 5x + 7 \)
\( 6x - 5x \le 7 + 7 \)
x ≤ 14
Ответ: x ∈ (−∞; 14]

Разберём ход решения. Сначала раскрыли скобки: 3 умножили на 2x и на −1. Затем объединили числа −3 и −4. Перенесли 5x влево, а −7 вправо, поэтому знаки слагаемых изменились. В конце коэффициент при x равен 1, поэтому делить на отрицательное число не пришлось.

Проверка: возьмём x = 14. Левая часть равна 3 × (28 − 1) − 4 = 77, правая — 5 × 14 + 7 = 77. Получаем верное ≤. Возьмём x = 15: 83 ≤ 82 неверно, значит значения больше 14 действительно не подходят.

Если в задании получается дробь, оставляй её точно: например, ¾ лучше не превращать в приблизительное десятичное число без необходимости.

Дробно-рациональные неравенства

В дробно-рациональных неравенствах переменная находится в знаменателе: (x + 1) / (x − 2) > 0. Здесь нельзя просто умножить обе части на знаменатель, потому что его знак заранее неизвестен. Кроме того, знаменатель не может быть равен нулю.

Алгоритм такой: перенеси всё в одну часть, разложи числитель и знаменатель на множители, найди нули числителя и знаменателя, отметь их на прямой и расставь знаки на промежутках. Точка, где знаменатель равен нулю, всегда исключается. Нули числителя включаются только при знаках ≤ или ≥.

Знак	Точка числителя	Точка знаменателя
> или <	не включается	не включается
≥ или ≤	включается	не включается

После таблицы знаков обязательно запиши ответ объединением промежутков. Если сомневаешься, подставь по одному числу из подходящего и неподходящего промежутка.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — забыть поменять знак при делении на отрицательное число. Вторая — включить в ответ значение, обращающее знаменатель в ноль. Третья — потерять минус при раскрытии скобок: −2(x − 3) = −2x + 6, а не −2x − 6.

Четвёртая ошибка — неверно прочитать ответ на прямой. Интервал (2; 7] включает 7, но не включает 2. Пятая — проверить только границу. Проверяй ещё одно число внутри найденного промежутка и одно снаружи.

Удобная мини-проверка: подставь выбранное значение в исходное неравенство, а не в промежуточную строку. Если исходное условие выполняется, вычисления, скорее всего, проведены верно.

Для экзамена полезно тренироваться короткими сериями: сначала линейные примеры, затем скобки, дроби и системы. В бесплатной практике можно решать задания в удобном темпе и возвращаться к ошибочным шагам.

Что запомнить

Неравенство решают преобразованиями, как уравнение, но есть ключевое правило: при умножении или делении обеих частей на отрицательное число знак меняется. В дробях знаменатель не равен нулю. Нули числителя и знаменателя делят прямую на промежутки, а знак на каждом промежутке проверяется подстановкой.

Запомни обозначения: открытая точка соответствует строгому знаку > или <, закрашенная — ≥ или ≤. Ответ лучше записывать и интервалом, и словами, если формат задания это допускает. Финальная подстановка в исходное условие помогает заметить потерянный минус.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. Начни с линейных неравенств, затем переходи к дробям. Если готовишься к экзамену, дополнительные подборки есть на страницах ОГЭ и ЕГЭ.