Памятка: прогрессии

Что такое прогрессии

Прогрессии часто кажутся набором формул, в которых легко потеряться: где-то нужно прибавлять, где-то умножать, а в условии спрятан вопрос про номер члена или сумму. Эта памятка поможет увидеть логику темы и быстро выбрать нужное правило. Ты научишься отличать арифметическую прогрессию от геометрической, находить любой член и сумму, а также проверять себя без заучивания вслепую.

Прогрессия — это последовательность чисел, расположенных в определённом порядке. Числа называют членами последовательности: a₁, a₂, a₃ и так далее. Индекс показывает номер члена. Важно читать условие внимательно: если известны первые числа, разность или знаменатель, почти всегда можно восстановить всю последовательность.

Есть два главных вида прогрессий. В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа. В геометрической каждый следующий член получается умножением на одно и то же число. Обозначения похожи, но действия и формулы разные.

Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой разность соседних членов постоянна. Её обозначают буквой d: d = a₂ − a₁. Основное свойство можно записать так: aₙ₊₁ = aₙ + d. Разность может быть положительной, отрицательной или нулевой. Поэтому последовательность может возрастать, убывать или состоять из одинаковых чисел.

Формула n-го члена позволяет найти число на любом месте, не выписывая все предыдущие: aₙ = a₁ + d × (n − 1). Число n − 1 показывает, сколько переходов от первого члена нужно сделать. Для суммы первых n членов используй формулу Sₙ = (a₁ + aₙ) × n ÷ 2. Если последний член неизвестен, удобно применить равенство Sₙ = (2a₁ + d × (n − 1)) × n ÷ 2.

При решении сначала выпиши, что дано: a₁, d, n или aₙ. Затем выбери формулу. Не подставляй номер n вместо количества переходов: именно из-за этой ошибки вместо n − 1 часто появляется n.

Геометрическая прогрессия

В геометрической прогрессии отношение соседних ненулевых членов постоянно. Это число называют знаменателем и обозначают q: q = a₂ ÷ a₁. Правило перехода выглядит так: aₙ₊₁ = aₙ × q. Если q > 1 и первый член положительный, последовательность обычно растёт; при 0 < q < 1 она уменьшается. Отрицательный знаменатель меняет знаки членов.

Формула n-го члена: aₙ = a₁ × qⁿ⁻¹. Здесь также используется n − 1, потому что от первого члена до n-го нужно выполнить именно столько умножений. Сумма первых n членов при q ≠ 1 вычисляется по формуле Sₙ = a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1). Равносильная запись для некоторых задач: Sₙ = a₁ × (1 − qⁿ) ÷ (1 − q).

Для бесконечной геометрической прогрессии сумма существует только при |q| < 1: S = a₁ ÷ (1 − q). Например, если каждый следующий вклад составляет ¾ предыдущего, члены уменьшаются, и бесконечная сумма конечна. Смешанные числа сначала переводи в неправильную дробь: 2⅓ = 7⁄3.

Разобранный пример

Рассмотрим арифметическую прогрессию, в которой a₁ = 7, d = 4. Найдём a₁₂ и сумму первых двенадцати членов. Сначала определяем нужный член по формуле n-го члена, затем используем найденное значение в формуле суммы. Такой порядок снижает риск перепутать данные.

\( a_1_2 = a_1 + d \times (12 - 1) \)
\( a_1_2 = 7 + 4 \times 11 \)
\( a_1_2 = 7 + 44 = 51 \)
\( S_1_2 = (a_1 + a_1_2) \times 12 \div 2 \)
\( S_1_2 = (7 + 51) \times 12 \div 2 \)
\( S_1_2 = 58 \times 6 = 348 \)

Проверим результат другим способом. В прогрессии 7, 11, 15, …, 51 двенадцать членов. Первый и последний дают 58, второй и предпоследний тоже 58: 11 + 47 = 58. Таких пар шесть, поэтому 6 × 58 = 348. Проверка показывает, что формула применена правильно.

Если бы в условии требовалось найти номер члена, формулу пришлось бы преобразовать: n = (aₙ − a₁) ÷ d + 1. Например, для числа 51 получаем n = (51 − 7) ÷ 4 + 1 = 12. После вычислений полезно проверить, является ли ответ целым положительным числом.

Ошибки и тренировка

Первая типичная ошибка — выбор не того вида прогрессии. Сравнивай не только первые два числа, а несколько разностей или отношений. Вторая — неверный знак d или q. Если последовательность убывает, разность будет отрицательной, например 10, 7, 4: d = −3. Третья — потеря скобок в выражениях с отрицательными числами.

Что нужно найти	Арифметическая	Геометрическая
Переход к следующему члену	aₙ₊₁ = aₙ + d	aₙ₊₁ = aₙ × q
n-й член	a₁ + d × (n − 1)	a₁ × qⁿ⁻¹
Сумма	(a₁ + aₙ) × n ÷ 2	a₁ × (qⁿ − 1) ÷ (q − 1)

Для закрепления реши несколько задач разных типов: найди d или q, затем n-й член, затем сумму. Полезно вести короткую запись «дано — формула — подстановка — ответ». Бесплатная практика в личном кабинете поможет отработать выбор формулы без лишней теории.

Что запомнить

Арифметическая прогрессия меняется на одну и ту же разность d, а геометрическая — во столько же раз, то есть имеет постоянный знаменатель q. Для n-го члена арифметической прогрессии используй a₁ + d × (n − 1), для геометрической — a₁ × qⁿ⁻¹. Перед формулой проверь вид последовательности и выпиши исходные данные.

Сумма арифметической прогрессии считается через среднее арифметическое первого и последнего членов. Сумма геометрической прогрессии требует знаменатель и отдельную формулу; для бесконечной суммы обязательно условие |q| < 1. Если ответ вызывает сомнение, восстанови несколько первых членов и проверь закономерность.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Если готовишься к экзамену, можно дополнительно посмотреть подборки по ОГЭ или ЕГЭ и выбрать задания на прогрессии.