Памятка: углы в окружности

1. Какие бывают углы в окружности

Углы в окружности часто кажутся запутанными: вершина может находиться в центре, на самой окружности или внутри круга. Если научиться быстро определять положение вершины и дугу, на которую опирается угол, большинство задач решается по понятному алгоритму. Эта памятка поможет повторить правила, не потерять градусы в вычислениях и увереннее подготовиться к контрольной или экзамену.

Окружность состоит из точек, одинаково удалённых от центра. Отрезок от центра до любой точки окружности называется радиусом, а отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, — диаметром. Диаметр равен двум радиусам: d = 2R.

Главные виды углов:

• центральный — вершина в центре окружности;
• вписанный — вершина на окружности, стороны являются хордами;
• угол между касательной и хордой — вершина в точке касания;
• угол с вершиной внутри или вне окружности — его стороны могут пересекать окружность.

Сначала всегда отметь вершину угла. Это действие подсказывает, какую формулу применять.

2. Центральный и вписанный углы

Центральный угол измеряется дугой, на которую он опирается: градусная мера центрального угла равна градусной мере соответствующей дуги. Если дуга AB равна 80°, то ∠AOB тоже равен 80°, где O — центр.

Вписанный угол опирается на дугу, не содержащую его вершину. Его градусная мера в два раза меньше дуги:

\( ∠ACB = ½⌢AB \)
\( ⌢AB = 2∠ACB \)

Отсюда следует важное правило: вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Если A и D лежат на одной дуге, то ∠ACB = ∠ADB, когда оба угла опираются на дугу AB.

Особый случай связан с диаметром. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:

∠ACB = 90°, если AB — диаметр

Не перепутай дугу с другой частью окружности. Для одной пары точек возможны малая и большая дуги, а выбор зависит от положения вершины.

3. Угол между касательной и хордой

Касательная имеет с окружностью одну общую точку. Если через эту точку проведена хорда, образуется угол между касательной и хордой. Его величина равна половине дуги, заключённой внутри угла:

∠между касательной и хордой = ½⌢AB

Это правило совпадает с правилом для вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Поэтому иногда удобно мысленно «перенести» угол от точки касания на окружность.

Ещё одно полезное свойство — радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:

OT ⟂ касательной в точке T
∠между OT и касательной = 90°

Если из одной внешней точки проведены две касательные, их отрезки равны. Это помогает составлять равенства в задачах на длины:

\( PA = PB \)

где PA и PB — касательные из точки P.

В задачах с касательной внимательно проверяй, к какой именно дуге относится угол. Часто рисунок выглядит симметрично, но нужная дуга находится внутри рассматриваемого угла.

4. Углы внутри и вне окружности

Если две хорды пересекаются внутри окружности, угол равен половине суммы дуг, отсекаемых этим углом и вертикальным ему углом:

\( ∠ = ½(⌢AB + ⌢CD) \)

Здесь берутся две дуги, расположенные напротив угла и его вертикального угла. Поэтому нельзя просто делить на 2 одну ближайшую дугу.

Если вершина угла находится вне окружности, а стороны пересекают окружность, используется разность дуг:

∠ = ½(большая дуга − малая дуга)

Это правило работает для двух секущих, секущей и касательной, а также двух касательных. Для двух касательных можно использовать и другую запись:

∠ = 180° − дуга между точками касания

Положение вершины	Правило
В центре	угол равен дуге
На окружности	половина дуги
Внутри окружности	половина суммы дуг
Вне окружности	половина разности дуг

Эту таблицу удобно использовать как короткий алгоритм перед решением.

5. Полностью разобранный пример и ошибки

На окружности точки A, B и C. Известно, что дуга AB равна 140°, а вписанный угол ACB опирается на эту дугу. Найдём угол ACB.

Дано: ⌢AB = 140°
\( ∠ACB = ½⌢AB \)
\( ∠ACB = 140^\circ \div 2 = 70^\circ \)
Ответ: ∠ACB = 70°

Решение начинается не с вычислений, а с определения вершины. Вершина C лежит на окружности, значит угол вписанный. Он опирается на дугу AB, поэтому применяем деление на 2.

Типичные ошибки:

• принимать вписанный угол за центральный и не делить дугу на 2;
• брать дугу, содержащую вершину угла;
• для угла вне окружности использовать сумму вместо разности;
• забывать, что дуга всей окружности равна 360°;
• считать радиус перпендикулярным хорде, хотя это верно только для хорды, которую радиус делит пополам, или для касательной в точке касания.

Если сомневаешься, подпиши на рисунке все известные дуги и проверь, дают ли они вместе 360°.

6. Что запомнить

Положение вершины определяет формулу. Центральный угол равен дуге. Вписанный угол и угол между касательной и хордой равны половине соответствующей дуги. При пересечении хорд внутри окружности берётся половина суммы дуг, а при вершине вне окружности — половина разности. Радиус к точке касания перпендикулярен касательной, а вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

Перед решением действуй по шагам: найди вершину, назови дуги, на которые опирается угол, выбери правило, затем проверь ответ. Сумма дуг окружности должна быть 360°, а градусная мера угла — находиться в разумных пределах.

Чтобы закрепить тему, зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. Там удобно сразу проверить, какая формула вызывает затруднение, а затем вернуться к нужному разделу памятки.

Для системной подготовки можно также посмотреть материалы по ОГЭ или ЕГЭ, а дополнительные упражнения открыть после бесплатной регистрации.