Памятка: четырёхугольники

Что такое четырёхугольник

Четырёхугольники часто кажутся похожими: везде четыре стороны, четыре вершины и четыре угла. Из-за этого легко перепутать свойства фигур и потерять баллы на простом задании. Эта памятка поможет быстро распознавать виды четырёхугольников, выбирать нужную формулу и проверять решение без лишней путаницы.

Четырёхугольник — это многоугольник с четырьмя сторонами, четырьмя вершинами и четырьмя углами. Стороны соединяют соседние вершины, а диагонали соединяют противоположные. У любой выпуклой фигуры такого типа сумма внутренних углов равна 360°.

Сумма углов четырёхугольника: 360°
Количество диагоналей: 2
Периметр: сумма длин всех сторон

Сначала определи, какая перед тобой фигура. Затем выпиши известные величины, выбери формулу и только после этого подставляй числа. Такой порядок особенно полезен на контрольной и при подготовке к ОГЭ.

Основные виды фигур

Главное различие между четырёхугольниками связано с параллельностью сторон, равенством сторон и величиной углов. Не нужно запоминать форму рисунка: она может быть наклонной или изображённой неудачно. Ориентируйся на условие и свойства.

Фигура	Главные свойства	Полезные формулы
Параллелограмм	Противоположные стороны параллельны и равны; противоположные углы равны	P = 2(a + b), S = a · h
Прямоугольник	Все углы прямые; противоположные стороны равны	P = 2(a + b), S = a · b
Ромб	Все стороны равны; диагонали перпендикулярны и делят углы пополам	P = 4a, S = a · h или S = d₁ · d₂ ÷ 2
Квадрат	Все стороны равны, все углы прямые	P = 4a, S = a², d = a√2
Трапеция	Только одна пара противоположных сторон параллельна	S = (a + b) · h ÷ 2

Квадрат одновременно является и прямоугольником, и ромбом, и параллелограммом. Поэтому к нему подходят разные формулы, но выбирай самую короткую для данных условия.

Параллелограмм, прямоугольник и ромб

В параллелограмме противоположные стороны равны: AB = CD и BC = AD. Противоположные углы тоже равны, а соседние в сумме дают 180°. Диагонали пересекаются и делятся точкой пересечения пополам. Если известны сторона и высота, площадь находится умножением основания на высоту.

У прямоугольника все углы по 90°, поэтому его диагонали равны и делятся пополам. У ромба все стороны имеют одну длину. Его диагонали пересекаются под прямым углом, а площадь удобно считать через половины диагоналей.

Параллелограмм: P = 2(a + b), S = a · h
Прямоугольник: S = a · b, d = √(a² + b²)
Ромб: P = 4a, S = d₁ · d₂ ÷ 2

Для закрепления свойств можно открыть бесплатную практику в личном кабинете: после каждого задания объясняй себе, какое свойство использовал.

Трапеция и площадь

Трапеция имеет две параллельные стороны — основания a и b. Расстояние между основаниями называется высотой h. Боковые стороны могут быть разными. Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной: её углы при каждом основании равны, а диагонали имеют одинаковую длину.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Иногда в задаче дана средняя линия. Она соединяет середины боковых сторон и равна полусумме оснований, поэтому площадь можно найти ещё проще.

Средняя линия: m = (a + b) ÷ 2
Площадь трапеции: S = m · h
Или: S = (a + b) · h ÷ 2

Разберём пример полностью. Пусть основания трапеции равны 8 см и 14 см, а высота — 5 см. Сначала находим полусумму оснований: (8 + 14) ÷ 2 = 11 см. Затем умножаем её на высоту: 11 · 5 = 55 см². Значит, площадь трапеции равна 55 см².

Дано: a = 8 см, b = 14 см, h = 5 см
\( m = (8 + 14) \div 2 = 11 \text{см} \)
\( S = 11 \cdot 5 = 55 \text{\text{см}}^2 \)
Ответ: 55 см²

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — считать, что у любой трапеции равны боковые стороны. Это верно только для равнобедренной трапеции. Вторая — использовать формулу площади параллелограмма без высоты: сторона и высота должны соответствовать одному основанию.

Третья ошибка — путать периметр и площадь. Периметр измеряется в сантиметрах, а площадь — в квадратных сантиметрах. Если после вычислений получилось см, а искали площадь, проверь решение. Нельзя складывать длины и площади или забывать коэффициент 2.

Проверяй ответ тремя способами: сравни единицы измерения, оцени порядок числа и просмотри, все ли данные из условия использованы. Если угол получился больше 360° или сторона оказалась отрицательной, ищи арифметическую ошибку.

Нужны задания разных типов? В разделе подготовки к ЕГЭ удобно тренировать площади, углы и диагонали по отдельности.

Что запомнить

У четырёхугольника четыре стороны, а сумма его внутренних углов равна 360°. Параллелограмм имеет две пары параллельных сторон, прямоугольник — четыре прямых угла, ромб — четыре равные стороны, квадрат сочетает свойства прямоугольника и ромба. У трапеции одна пара параллельных сторон.

Для площади выбирай формулу по данным: прямоугольник — a · b, параллелограмм — a · h, ромб — d₁ · d₂ ÷ 2, трапеция — (a + b) · h ÷ 2. Не забывай про единицы площади и проверяй, действительно ли указанная длина является высотой.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно. После решения подпиши возле каждого примера название фигуры и использованное свойство — так формулы начнут работать, а не просто останутся списком.