Памятка: подобие треугольников

Что такое подобие треугольников

Если в задаче про треугольники много букв, углов и отношений сторон, легко растеряться. Подобие помогает свести всё к понятной схеме: фигуры имеют одинаковую форму, но могут отличаться размером. Разберёшь признаки и пропорции — и сможешь находить неизвестные стороны без лишних вычислений.

Два треугольника называют подобными, если их соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны. Подобие обозначают знаком ∼: △ABC ∼ △DEF. Порядок букв важен: он показывает, какие вершины соответствуют друг другу.

У подобных треугольников сохраняется форма, но размер меняется. Например, один треугольник можно получить из другого увеличением в 2 раза или уменьшением до ¾ исходного размера. Коэффициент подобия показывает, во сколько раз стороны одной фигуры больше соответствующих сторон другой.

△ABC ∼ △DEF
\( ∠A = ∠D, ∠B = ∠E, ∠C = ∠F \)
\( AB⁄DE = BC⁄EF = AC⁄DF = k \)

Здесь k — коэффициент подобия. Если k ≥ 1, первый треугольник не меньше второго по соответствующим сторонам.

Три признака подобия

В школьных задачах достаточно доказать один из трёх признаков. Первый признак — по двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Третий угол автоматически тоже равен, потому что сумма углов треугольника равна 180°.

Второй признак — по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Например, если AB⁄DE = AC⁄DF и ∠A = ∠D, то △ABC ∼ △DEF.

Третий признак — по трём пропорциональным сторонам. Если AB⁄DE = BC⁄EF = AC⁄DF, треугольники подобны.

Признак	Что сравниваем
1-й	Два равных угла
2-й	Две пропорциональные стороны и угол между ними
3-й	Три пропорциональные стороны

Не нужно доказывать все три признака сразу. Выбери тот, для которого в условии уже есть нужные данные.

Как решать задачи по шагам

Шаг 1. Найди равные углы или стороны, указанные в условии. Если есть пара пересекающихся прямых, вспомни: вертикальные углы равны. При параллельных прямых могут появиться равные соответственные или накрест лежащие углы.

Шаг 2. Запиши подобие треугольников в правильном порядке. Например, если A соответствует D, B — E, а C — F, пиши △ABC ∼ △DEF, а не случайную перестановку букв.

Шаг 3. Составь пропорцию соответствующих сторон. Нельзя сравнивать сторону AB с DF, если A и B соответствуют D и F не в таком порядке.

Шаг 4. Подставь известные значения и найди неизвестное. После вычисления проверь результат: отношение должно быть одинаковым для всех пар сторон, а длина стороны — положительной.

Если треугольники имеют общий угол, это часто сразу даёт первый признак. Особенно внимательно смотри на рисунки с высотой, медианой или диагональю: дополнительные треугольники могут быть подобными.

Для бесплатной практики после теории можно открыть личный кабинет и решить задания по теме, чтобы проверить каждый шаг самостоятельно.

Разобранный пример

В треугольнике ABC проведён отрезок DE, причём DE ∥ AC. Точка D лежит на AB, точка E — на BC. Известно: BD = 4 см, DA = 6 см, BE = 5 см. Найди EC.

Рассуждаем по порядку. У треугольников BDE и BAC есть общий угол B. Кроме того, из параллельности DE и AC следуют равенства соответственных углов: ∠BDE = ∠BAC и ∠BED = ∠BCA. Значит, △BDE ∼ △BAC по двум углам.

Сначала найдём сторону BA: это сумма частей BD и DA. В подобных треугольниках стороне BD соответствует BA, а BE соответствует BC. Поэтому можно составить пропорцию.

\( BA = BD + DA = 4 + 6 = 10 \text{см} \)
△BDE ∼ △BAC
\( BD⁄BA = BE⁄BC \)
\( 4⁄10 = 5⁄BC \)
\( BC = 5 \times 10⁄4 = 12,5 \text{см} \)
\( EC = BC - BE = 12,5 - 5 = 7,5 \text{см} \)

Ответ: EC = 7,5 см. Обрати внимание: сначала мы нашли всю сторону BC, а уже затем вычли известный отрезок BE. Это частый приём в задачах с параллельными отрезками.

Типичные ошибки и самопроверка

Ошибка 1 — неверный порядок вершин. Запись △ABC ∼ △DFE означает, что B соответствует F, а C — E. Если в пропорции использовать другую пару, ответ получится неправильным даже при аккуратных вычислениях.

Ошибка 2 — сравнение непарных сторон. Перед составлением пропорции выпиши соответствия: A → D, B → E, C → F. Затем используй только пары AB и DE, BC и EF, AC и DF.

Ошибка 3 — попытка применить признак по двум сторонам без угла между ними. Две пропорциональные стороны сами по себе подобие не доказывают. Нужен ещё равный угол между ними или третья пропорциональная сторона.

Ошибка 4 — забытая единица измерения. Длины складывают и вычитают только в одинаковых единицах. Если одна сторона дана в метрах, а другая в сантиметрах, сначала выполни перевод.

После решения задай себе три вопроса: какие вершины соответствуют друг другу, одинаков ли коэффициент в пропорциях, имеет ли ответ смысл по рисунку? Для подготовки к ОГЭ полезно решать задачи небольшими сериями в разделе с материалами ОГЭ, разбирая не только ответ, но и причину ошибки.

Что запомнить

Подобные треугольники имеют равные соответствующие углы и пропорциональные соответствующие стороны. Для доказательства достаточно одного из трёх признаков: два угла, две стороны и угол между ними, либо три пропорциональные стороны.

Главный алгоритм: установи соответствие вершин, запиши треугольники в правильном порядке, составь пропорцию и проверь результат. Если фигуры связаны параллельными прямыми, ищи равные углы и не забывай складывать части стороны, когда требуется вся длина.

Закрепить тему лучше сразу на практике: зарегистрируйся бесплатно и реши 5 заданий в личном кабинете. Если готовишься к выпускному экзамену, дополнительно посмотри материалы по геометрии для ЕГЭ и отметь, какие типы задач требуют повторения.