Памятка: задачи на смеси

Что такое задачи на смеси

Задачи на смеси часто кажутся запутанными: здесь одновременно встречаются масса, процент, концентрация и несколько веществ. Но за разными сюжетами скрывается одна понятная идея: нужно сравнить количество полезного вещества в каждом компоненте. В этой памятке ты научишься переводить условие на обычный математический язык, выбирать неизвестное и проверять ответ без угадывания.

Смесь состоит из частей, у каждой есть масса и доля нужного вещества. Например, в растворе соли полезным веществом будет соль, а остальное — вода. Если концентрация раствора равна 20%, это означает, что соль составляет 20% его массы.

Главное правило:

масса полезного вещества = масса смеси × концентрация
\( m_{\text{пол}} = m_{\text{см}} \times p \)

Процент сначала переводим в десятичную дробь: 15% = 0,15; ¾ = 0,75. Если в задаче сказано «раствор содержит 2⅓ кг соли», это уже готовая масса полезного вещества, и процент переводить не нужно.

Алгоритм решения по шагам

Начни с вопроса: что именно требуется найти — массу смеси, концентрацию или массу одного из компонентов? Затем обозначь неизвестную величину буквой и выпиши данные в одинаковых единицах. Килограммы нельзя бездумно складывать с граммами, а проценты — с десятичными дробями.

Дальше найди массу полезного вещества в каждой части смеси. Для этого используй формулу mпол = mсм × p. После смешивания массы складываются, поэтому общая масса полезного вещества равна сумме его масс в отдельных компонентах.

Что известно	Что используем
Масса смеси и концентрация	mпол = mсм × p
Массы компонентов	mсм = m₁ + m₂
Масса полезного вещества и смеси	p = mпол ÷ mсм

После составления уравнения реши его и проверь смысл результата: концентрация должна быть не меньше меньшей и не больше большей концентрации исходных растворов.

Разобранный пример

Смешали 2 кг 30%-ного раствора соли и несколько килограммов 10%-ного раствора. Получили 20%-ный раствор массой 5 кг. Найдём массу второго раствора.

Пусть x кг — масса 10%-ного раствора.
\( 2 + x = 5 \)
Масса соли в первом растворе: 2 × 0,30 = 0,6 кг.
Масса соли во втором растворе: 0,1x кг.
Масса соли в готовой смеси: 5 × 0,20 = 1 кг.
\( 0,6 + 0,1x = 1 \)
\( 0,1x = 0,4 \)
\( x = 4 \text{кг}. \)

Ответ: масса второго раствора равна 4 кг. Проверим: общая масса 2 + 4 = 6 кг, а не 5 кг. Значит, в условии возникло противоречие? Да: если масса готовой смеси указана как 5 кг, то масса второго раствора по балансу масс равна 3 кг. Тогда соли будет 0,6 + 0,3 = 0,9 кг, а концентрация — 0,9 ÷ 5 = 18%. Следовательно, такие данные несовместимы. Проверка спасает от формального ответа.

Если исправить условие на «получили 20%-ный раствор массой 6 кг», решение выше становится корректным: 2 + 4 = 6 и 1 ÷ 6 ≈ 16,7%, поэтому и это не подходит. Для 20% при 2 кг первого раствора масса второго должна быть 6 кг: 0,6 + 0,1x = 0,2(2 + x), откуда x = 4 кг, а итоговая масса 6 кг и соли 1 кг, то есть 16,7%. Значит, исходный набор требует внимательной проверки данных.

Как решать через уравнение

Удобно применять закон сохранения полезного вещества: сколько его было до смешивания, столько же стало после смешивания, если ничего не добавляли и не выпаривали. Для двух растворов запись выглядит так:

\( m_1 \times p_1 + m_2 \times p_2 = (m_1 + m_2) \times p \)
\( p = (m_1 \times p_1 + m_2 \times p_2) \div (m_1 + m_2) \)

Если неизвестна масса второго компонента, подставь x вместо m₂. Если неизвестна концентрация, оставь p неизвестным и вырази её после раскрытия скобок. В задачах на сплавы вместо концентрации может использоваться доля металла, а вместо раствора — смесь веществ. Принцип не меняется.

Иногда полезно работать с долей примеси или воды. Например, если кислота занимает 40%, то вода занимает 60%: 1 − 0,4 = 0,6. Выбирай ту величину, которая проще связывает данные условия.

В личном кабинете можно бесплатно потренироваться на похожих задачах: после каждого ответа возвращайся к формуле и отмечай, на каком шаге возникла ошибка.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — считать процент числом без перевода: 25% — это 0,25, а не 25. Вторая — умножать концентрацию на массу полезного вещества вместо массы всего раствора. Третья — складывать проценты исходных растворов. Проценты складывать нельзя, а массы соли складывать можно.

Четвёртая ошибка — забывать о единицах. Если один компонент дан в граммах, переведи всё в граммы или всё в килограммы. Пятая — принимать любой корень или отрицательное значение за ответ. Масса не может быть отрицательной, а концентрация не должна превышать 100%.

Используй три проверки:

масса смеси = сумма масс компонентов
масса полезного вещества ≤ масса смеси
min(p₁, p₂) ≤ pсм ≤ max(p₁, p₂)

Если в задаче добавляют воду, её концентрация по соли равна 0%. Если выпаривают воду, масса соли сохраняется, а масса раствора уменьшается, поэтому концентрация возрастает. Когда ты явно записываешь, что сохранилось, решение становится гораздо надёжнее.

Для экзамена полезно оставить несколько строк на проверку: это занимает меньше времени, чем исправление неверного ответа в конце.

Что запомнить

Задача на смесь решается через количество полезного вещества. Переведи проценты в доли, вычисли массу нужного вещества в каждой части, составь баланс и только потом решай уравнение. Универсальная схема:

полезное вещество до смешивания = полезное вещество после смешивания
\( m_1 \times p_1 + m_2 \times p_2 = (m_1 + m_2) \times p \)

Не забывай проверять массу, единицы и границы концентрации. Если ответ оказался больше общей массы или концентрация вышла за пределы 0–100%, ищи ошибку в записи условия.

Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно в личном кабинете. После каждого решения проговаривай вслух: «что смешали, что сохраняется, какую величину ищу». Для повторения темы можно открыть материалы по математике для ОГЭ или подготовку к ЕГЭ и выбрать задания на проценты и уравнения.