Шпаргалка: планиметрия

Разберись в планиметрии без путаницы

Если в задаче много углов, сторон и окружностей, легко потерять главный шаг; эта шпаргалка поможет быстро выбрать нужную формулу и оформить решение. Ты повторишь базовые свойства фигур, научишься видеть связь между данными и уверенно решать типовые задания ОГЭ и школьных самостоятельных.

Планиметрия изучает фигуры на плоскости: треугольники, четырёхугольники, окружности и их части. Почти любую задачу удобно разбирать по плану: прочитай условие, сделай рисунок, подпиши известные величины, определи фигуру и только потом выбирай формулу.

Сначала ищи не числа, а отношения. Например, равные стороны подсказывают равнобедренный треугольник, параллельные стороны — трапецию, а прямой угол — возможность применить теорему Пифагора.

Сумма углов треугольника: 180°
Развёрнутый угол: 180°
Полный угол: 360°
Смежные углы: α + β = 180°

Для задач экзамена особенно важны аккуратный чертёж и проверка единиц измерения. Площадь записывают в квадратных единицах, длину — в обычных.

Используй свойства углов и треугольников

Треугольник бывает равносторонним, равнобедренным или разносторонним. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а высота, проведённая к основанию, одновременно является медианой и биссектрисой. Это часто сокращает решение до двух строк.

В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой и всегда самая длинная.

Теорема Пифагора: c² = a² + b²
Катет: a = √(c² − b²)
Площадь треугольника: S = ½ah
Площадь через две стороны и угол: S = ½ab · sin α

Если известны два угла треугольника, третий находи вычитанием из 180°. В подобных треугольниках соответствующие стороны пропорциональны. Коэффициент подобия k показывает, во сколько раз изменились длины, а площади изменяются в k² раз.

Считай периметры и площади фигур

Периметр — это длина границы фигуры. Чтобы его найти, сложи все стороны. Площадь показывает размер части плоскости внутри границы. Перед вычислением проверь, можно ли разбить сложную фигуру на прямоугольники, треугольники или трапеции.

Прямоугольник: P = 2(a + b), S = ab
Квадрат: P = 4a, S = a²
Параллелограмм: S = ah
Трапеция: S = ½(a + b)h
Ромб: S = ½d₁d₂

У параллелограмма противоположные стороны равны и параллельны. Его высота должна быть перпендикулярна основанию, а не совпадать с боковой стороной. В трапеции основания параллельны, боковые стороны могут быть разными.

Фигура	Что проверить	Главная формула
Прямоугольник	Прямые углы	S = ab
Треугольник	Основание и высоту	S = ½ah
Круг	Радиус или диаметр	S = πr²

Если фигура составная, вычисли площади частей и сложи их. Если из большой фигуры вырезан фрагмент, найди разность площадей.

Применяй окружность и теорему Пифагора

В окружности центр равноудалён от всех точек границы. Радиус соединяет центр с точкой окружности, диаметр проходит через центр и равен двум радиусам.

\( d = 2r \)
Длина окружности: L = 2πr
Площадь круга: S = πr²
Длина дуги: l = πrα ÷ 180°

Угол, опирающийся на диаметр, прямой. Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Пример: прямоугольный треугольник имеет катеты 6 см и 8 см. Найдём гипотенузу и площадь.

\( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( c = \sqrt{1}00 = 10 \text{см} \)
\( S = ½ \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{\text{см}}^2 \)
Ответ: гипотенуза 10 см, площадь 24 см²

Если в условии дан диаметр, не подставляй его вместо радиуса: сначала раздели значение на 2.

Избегай ошибок в решениях

Первая частая ошибка — неверный рисунок. Не дорисовывай фигуру «на глаз»: параллельность, равенство сторон и перпендикулярность должны следовать из условия. Вторая — использование свойства, которого нет в задаче. Например, диагонали прямоугольника равны, но у произвольного параллелограмма это не всегда так.

Третья ошибка — потеря единиц. Если стороны указаны в сантиметрах, площадь получится в см². При переводе 1 м = 100 см, но 1 м² = 10 000 см².

Четвёртая — преждевременное округление. Сохраняй точные значения, например 2⅓ или √5, до последнего шага. Округляй только по требованию.

Проверяй ответ здравым смыслом: гипотенуза не может быть меньше катета, площадь треугольника с основанием 8 и высотой 3 не может быть 40, а периметр всегда больше любой отдельной стороны.

Короткая практика в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» поможет сразу проверить, какие свойства уже запомнились, а где нужна ещё одна попытка.

Запомни главное и закрепи навык

Планиметрия становится проще, если двигаться от рисунка к свойству, от свойства к формуле, а затем проверять единицы и смысл ответа. Держи в памяти базу: сумма углов треугольника — 180°, c² = a² + b², S треугольника = ½ah, S круга = πr², длина окружности = 2πr.

В задачах на прямоугольник используй стороны и диагональ, в задачах на окружность сначала различай радиус и диаметр, а в составных фигурах разбивай изображение на знакомые части. Если видишь 30°, 45° или 60°, проверь, не скрывается ли специальный треугольник.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа коротко отметь, какую формулу применил и почему. Так шпаргалка превратится в рабочий алгоритм, а не просто в список правил.