Шпаргалка: логарифмы

Пойми смысл логарифма и перестань путаться в основаниях

Логарифмы часто выглядят как набор непонятных символов, из-за чего даже простое задание отнимает много времени. Разберём тему по шагам, чтобы ты уверенно переходил от логарифма к степени, выбирал нужное правило и проверял ответ.

Логарифм отвечает на один вопрос: в какую степень нужно возвести основание, чтобы получить указанное число. Запись logₐ b = c означает, что aᶜ = b. Здесь a — основание, b — аргумент, а c — значение логарифма.

Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8. Точно так же log₅ 25 = 2, поскольку 5² = 25. Начинай решение именно с перевода логарифма в степень: так смысл выражения становится понятнее.

У логарифма есть ограничения: основание a должно быть положительным и не равняться 1, а аргумент b обязан быть положительным. Поэтому log₋₂ 8 и log₁ 8 не определены в школьной математике.

\( \log ₐ b = c \to aᶜ = b \)
a > 0, a ≠ 1, b > 0
log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32

Используй основные свойства без лишних действий

Свойства логарифмов помогают превращать сложные выражения в короткие вычисления. Для произведения логарифм раскладывается на сумму, для частного — на разность, а степень аргумента можно вынести перед логарифмом.

\( \log ₐ (x \cdot y) = \log ₐ x + \log ₐ y \)
\( \log ₐ (x ⁄ y) = \log ₐ x - \log ₐ y \)
\( \log ₐ xᵏ = k \cdot \log ₐ x \)

Например, log₂ 8 + log₂ 4 = log₂ (8 · 4) = log₂ 32 = 5. Но объединять можно только логарифмы с одинаковым основанием. Выражения log₂ 8 и log₃ 9 нельзя складывать по этому правилу.

Полезно помнить два специальных значения:

logₐ 1 = 0, потому что a⁰ = 1
logₐ a = 1, потому что a¹ = a

Закрепить свойства можно в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок»: после короткого разбора сразу решай похожие примеры.

Своди основание и аргумент к удобной степени

Многие логарифмы вычисляются устно, если представить числа как степени одного основания. Например, 16 = 2⁴, поэтому log₂ 16 = 4. Если основание и аргумент записаны через одну и ту же степень, задача становится почти мгновенной.

\( log_3 81 = log_3 3^4 = 4 \)
log₄ 2 = ½, потому что 4¹ᐟ² = 2
\( log_2 ¾ = log_2 3 - log_2 4 \)

Иногда основание удобно заменить. Формула перехода к новому основанию выглядит так:

logₐ b = log с основанием c от b ⁄ log с основанием c от a
\( log_2 8 = \lg 8 ⁄ \lg 2 = 3 \)

В школьных заданиях чаще всего выбирают основание 10 или число e, если разрешён калькулятор. В обычных вычислениях переход к основанию 2, 3 или 5 бывает полезнее.

Выражение	Как распознать	Ответ
log₅ 125	125 = 5³	3
log₂ ½	½ = 2⁻¹	−1
log₉ 3	9 = 3²	½

Тренируй не только положительные степени: дроби и корни тоже можно записывать как степени. Например, √7 = 7¹ᐟ², а 2⅓ = 2 + ⅓.

Решай логарифмические уравнения по понятному алгоритму

В простом уравнении сначала приведи логарифмы к одному основанию, затем используй равенство аргументов. Если logₐ f(x) = logₐ g(x), то f(x) = g(x), но только при положительных аргументах и допустимом основании.

Разберём пример полностью:

\( log_2 (x - 1) + log_2 (x + 1) = 3 \)
ОДЗ: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, значит x > 1
\( log_2 [(x - 1) \cdot (x + 1)] = 3 \)
\( (x - 1)(x + 1) = 2^3 \)
\( x^2 - 1 = 8 \)
\( x^2 = 9 \)
x = 3 или x = −3
По ОДЗ подходит только x = 3
Ответ: x = 3

Проверка обязательна: log₂ 2 + log₂ 4 = 1 + 2 = 3. Она подтверждает, что найденное число подходит исходному уравнению.

В личном кабинете «Просто Урок» удобно отрабатывать именно такие уравнения: решай по одному шагу и сверяй каждый переход.

Разбирай типичные ошибки и готовься к экзамену

Первая ошибка — неверное правило для суммы. logₐ (x + y) нельзя превращать в logₐ x + logₐ y. Свойство работает только для произведения. Вторая ошибка — попытка вычислить логарифм отрицательного аргумента в действительных числах.

Третья ошибка связана с основанием. Если 0 < a < 1, функция убывает, а если a > 1, возрастает. Поэтому при сравнении логарифмов знак может измениться:

если a > 1: logₐ x > logₐ y → x > y
если 0 < a < 1: logₐ x > logₐ y → x < y

Для ОГЭ и ЕГЭ важно аккуратно оформлять ОДЗ, преобразования и ответ. В заданиях с неравенствами сначала определи направление монотонности, а затем решай как обычное неравенство. В заданиях с параметрами отдельно следи за допустимыми основаниями.

Если видишь корень, дробь или отрицательную степень, перепиши их в степенной форме. Такой приём помогает заметить знакомый логарифм и быстрее выбрать формулу.

Мини-проверка: чему равен log₄ 2? Ответ ½, потому что 4¹ᐟ² = 2. Если получил 2, перепроверь, что именно является основанием, а что аргументом.

Запомни главное и закрепи навык

Логарифм — это показатель степени. Всегда начинай с вопроса: «В какую степень нужно возвести основание?» Проверяй условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0, а в уравнениях записывай ОДЗ до преобразований.

Три главных свойства выглядят так:

произведение → сумма
частное → разность
степень аргумента → множитель перед логарифмом

Для вычислений представляй числа степенями одного основания. Для уравнений объединяй логарифмы, переходи к степени, решай полученное уравнение и обязательно отбрасывай корни, нарушающие ОДЗ.

Следующий шаг конкретный: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После этого отметь, на каком этапе возникла ошибка: в свойствах, ОДЗ или проверке.