Шпаргалка: производная

Пойми смысл производной

Производная кажется набором правил, пока не ясно, что именно она показывает. В этой шпаргалке ты разберёшь смысл производной, основные формулы и алгоритм решения, чтобы увереннее справляться с заданиями ОГЭ и ЕГЭ.

Производная функции в точке показывает скорость её изменения. На графике это наклон касательной: если график поднимается, производная положительна; если опускается, отрицательна. Чем круче подъём или спуск, тем больше модуль производной.

Представь путь велосипеда. Координата зависит от времени: s(t). Производная s′(t) показывает мгновенную скорость. Если функция описывает температуру, производная говорит, как быстро температура меняется сейчас, а не за весь день.

Запись f′(x), y′ или dy/dx означает одно и то же: производную функции по переменной x. При вычислении производной переменная считается независимой, а остальные числа и параметры не меняются.

\( f(x) = x^2 \to f′(x) = 2x \)
\( f(x) = 5x \to f′(x) = 5 \)
\( f(x) = 7 \to f′(x) = 0 \)

Используй основные формулы

Главное правило для степени: производная xⁿ равна n × xⁿ⁻¹. Коэффициент перед степенью просто умножается на показатель. Это правило работает и для дробных, и для отрицательных показателей, если выражение имеет смысл на рассматриваемом промежутке.

Функция	Производная
C	0
xⁿ	n × xⁿ⁻¹
sin x	cos x
cos x	−sin x
eˣ	eˣ
ln x	1/x

Для суммы и разности дифференцируй каждый член отдельно. У постоянного множителя производная не меняется: его можно вынести за знак производной.

\( (x^3 + 4x^2 - 6x + 8)′ = 3x^2 + 8x - 6 \)
\( (7x^4)′ = 7 \times 4x^3 = 28x^3 \)
\( (\sqrt{x})′ = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \)

Если в формуле есть сложная функция, понадобится правило цепочки: сначала возьми производную внешней функции, затем умножь на производную внутренней.

\( (3x + 1)^5′ = 5(3x + 1)^4 \times 3 \)
\( (\sin 2x)′ = \cos 2x \times 2 \)

Для бесплатной практики можно открыть личный кабинет «Просто Урок»: перейти к заданиям.

Решай по понятному алгоритму

В типичном задании сначала внимательно перепиши функцию. Потерянный знак или скобка часто меняют весь ответ. Затем разложи выражение на знакомые части и выбери подходящие правила.

Шаг 1. Найди производную функции полностью. Не подставляй значение x слишком рано.

Шаг 2. Упрости результат: раскрой очевидные умножения, приведи подобные слагаемые.

Шаг 3. Если требуется значение производной в точке x₀, только теперь подставь x₀.

Шаг 4. Проверь знак и степень. У степени показатель должен уменьшиться на единицу, а коэффициент — умножиться на прежний показатель.

Найти f′(2), если f(x) = x³ − 4x + 1
\( f′(x) = 3x^2 - 4 \)
\( f′(2) = 3 \times 2^2 - 4 = 12 - 4 = 8 \)

В заданиях экзамена такой алгоритм особенно полезен, когда ответом является число. Не округляй промежуточные значения без необходимости.

Исследуй график и промежутки

Знак производной помогает определить поведение функции. На промежутке, где f′(x) > 0, функция возрастает. Если f′(x) < 0, функция убывает. Точки, где f′(x) = 0 или производная не существует, называют критическими и проверяют отдельно.

Чтобы исследовать функцию, сначала найди область определения. Затем вычисли производную и реши неравенство f′(x) > 0 или f′(x) < 0. Отметь найденные точки на числовой прямой, расставь знаки производной и сделай вывод.

Если знак меняется с плюса на минус, в точке находится максимум. Переход с минуса на плюс означает минимум. Само равенство f′(x) = 0 ещё не доказывает наличие экстремума: знак может не измениться.

\( f(x) = x^2 - 6x + 5 \)
\( f′(x) = 2x - 6 \)
\( f′(x) = 0 \to x = 3 \)
При x < 3: f′(x) < 0, функция убывает
При x > 3: f′(x) > 0, функция возрастает
x = 3 — точка минимума

Геометрически в точке экстремума касательная часто горизонтальна. Но у угловой точки или точки с вертикальной касательной производная может не существовать, поэтому график тоже нужно рассматривать.

Избегай типичных ошибок

Ошибка 1 — считать производную константы равной самой константе. Число не меняется при изменении x, поэтому его производная равна нулю.

Ошибка 2 — забывать коэффициент степени. Производная x⁴ — это не x³, а 4x³. Если перед степенью стоит число, умножь и его.

Ошибка 3 — неверно дифференцировать произведение. Для u × v действует формула: (u × v)′ = u′ × v + u × v′. Нельзя просто перемножить производные.

Ошибка 4 — путать производную частного и частное производных. Для u/v числитель правила выглядит так: u′ × v − u × v′, а в знаменателе стоит v².

\( (x^2 + 1)^3′ = 3(x^2 + 1)^2 \times 2x \)
\( = 6x(x^2 + 1)^2 \)

Ещё одна проблема — подстановка вместо дифференцирования. Значение функции в точке и значение производной в точке — разные величины. Подписывай их отдельно: f(x₀) и f′(x₀).

Закрепить правила можно короткими подходами в бесплатном тренажёре личного кабинета «Просто Урок»: открыть практику.

Запомни главное и сделай шаг

Производная описывает скорость изменения функции и наклон касательной. Для степени используй правило n × xⁿ⁻¹, сумму дифференцируй почленно, постоянный множитель выноси за знак производной.

Для сложной функции не пропускай внутреннюю производную. Для исследования графика смотри на знак f′: плюс означает рост, минус — убывание. Нули производной проверяй сменой знака, а не принимай автоматически за экстремумы.

Перед экзаменом держи в голове короткую последовательность: область определения → производная → критические точки → знаки на промежутках → вывод. Такой порядок снижает риск пропустить важный случай.

Следующий шаг конкретный: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете и реши 5 заданий по теме, чтобы сразу проверить понимание правил и найти места для повторения: начать практику.