Векторы на координатной плоскости: ОГЭ

Пойми, как читать векторы на координатной плоскости

Если на чертеже много стрелок и координат, легко потерять баллы из-за одной неверной разности. Разберём понятный алгоритм, чтобы уверенно решать задания ОГЭ по векторам и проверять себя без догадок.

Вектор задаёт направление и длину. На координатной плоскости его обычно обозначают стрелкой из точки A в точку B: →AB. Первая точка называется началом, вторая — концом. Если A(x₁; y₁), а B(x₂; y₂), то координаты вектора находят вычитанием координат начала из координат конца:

\( \to AB = (x_2 - x_1; y_2 - y_1) \)
Первая координата показывает горизонтальное смещение.
Вторая координата показывает вертикальное смещение.

Например, из точки A(−2; 3) в точку B(4; 1) нужно пройти на 6 единиц вправо и на 2 единицы вниз. Значит, →AB = (6; −2). Знак «минус» у второй координаты важен: движение идёт вниз.

В ОГЭ такие задачи часто связаны с чтением рисунка, координатами вершин и выбором верного ответа. Сначала спокойно определи начало и конец стрелки, а уже потом считай.

Находи координаты вектора без ошибок

Главное правило легко запомнить: «конец минус начало». Не наоборот. Запиши координаты обеих точек в одну строку и отдельно вычти абсциссы, затем ординаты. Такой порядок снижает риск перепутать знаки.

A(−3; −1), B(2; 5)
\( \to AB = (2 - (-3); 5 - (-1)) \)
\( \to AB = (5; 6) \)

Если требуется найти противоположный вектор, поменяй знак у каждой координаты:

\( \to BA = (-5; -6) = -\to AB \)

Равные векторы имеют одинаковые координаты, даже если находятся в разных местах рисунка. У них совпадают направление и длина. Нулевой вектор начинается и заканчивается в одной точке: его координаты (0; 0), а длина равна 0.

После этого можно закрепить правило в бесплатной практике личного кабинета Просто Урок.

Складывай векторы и умножай их на число

С векторами в координатах действуют знакомые правила арифметики. Чтобы сложить два вектора, сложи соответствующие координаты. Чтобы вычесть один вектор из другого, прибавь противоположный. При умножении на число умножаются обе координаты.

\( a⃗ = (a_1; a_2), b⃗ = (b_1; b_2) \)
\( a⃗ + b⃗ = (a_1 + b_1; a_2 + b_2) \)
\( a⃗ - b⃗ = (a_1 - b_1; a_2 - b_2) \)
\( k \cdot a⃗ = (k \cdot a_1; k \cdot a_2) \)

Пусть a⃗ = (3; −4), а b⃗ = (−1; 2). Тогда a⃗ + b⃗ = (2; −2). Геометрически это означает: сначала выполняем одно перемещение, затем другое. Итоговый вектор соединяет начальную точку первого перемещения с конечной точкой второго.

Если коэффициент отрицательный, направление меняется. Например, −2·(1; −3) = (−2; 6). При умножении на 2 длина увеличивается в 2 раза, а при умножении на ½ уменьшается в 2 раза.

Действие	Правило	Пример
Сложение	Складываем координаты	(2; 1) + (3; −4) = (5; −3)
Вычитание	Вычитаем по координатам	(2; 1) − (3; −4) = (−1; 5)
Умножение	Умножаем обе координаты	3·(2; −1) = (6; −3)

Такие преобразования встречаются в заданиях на координаты и свойства фигур.

Вычисляй длину и проверяй перпендикулярность

Длина вектора определяется теоремой Пифагора. Если a⃗ = (x; y), горизонтальная и вертикальная составляющие образуют прямоугольный треугольник:

\( |a⃗| = \sqrt{x^2 + y^2} \)
\( |(3; 4)| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{2}5 = 5 \)

Для вектора →AB можно сразу использовать координаты точек:

\( AB = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2) \)

Квадраты убирают знак минус, поэтому длина всегда неотрицательна. Если получилось отрицательное число под корнем или в ответе, ищи ошибку.

Для проверки перпендикулярности используют скалярное произведение. Если a⃗ = (a₁; a₂), b⃗ = (b₁; b₂), то:

\( a⃗ \cdot b⃗ = a_1 \cdot b_1 + a_2 \cdot b_2 \)
a⃗ ⟂ b⃗, если a⃗ · b⃗ = 0

Например, (2; 3) и (3; −2) перпендикулярны: 2·3 + 3·(−2) = 0. В ОГЭ чаще достаточно аккуратно подставить координаты и выполнить два умножения.

Разбирай задание ОГЭ по шагам

Рассмотрим типичный пример. Даны точки A(1; 2), B(5; 5), C(−1; 3). Найдём длину вектора →AB и координаты вектора →AC.

1. Координаты →AB: (5 − 1; 5 − 2) = (4; 3).
2. Длина AB: √(4² + 3²) = √25 = 5.
3. Координаты →AC: (−1 − 1; 3 − 2) = (−2; 1).
Ответ: →AB = (4; 3), AB = 5, →AC = (−2; 1).

Обрати внимание: для →AB мы вычитаем координаты A из координат B, а для →AC — координаты A из координат C. Если стрелка направлена от B к A, результат будет противоположным.

Если в условии есть рисунок, проверь направление стрелки и масштаб клеток. Одна клетка не всегда означает одну единицу. Дополнительные похожие задачи можно решить в бесплатном тренажёре личного кабинета Просто Урок.

Что запомнить перед самостоятельной работой

Вектор →AB находят по правилу «конец минус начало»: →AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Противоположный вектор меняет оба знака. Векторы складывают и вычитают покоординатно, а при умножении на число умножают каждую координату.

Длина вектора равна √(x² + y²). Для перпендикулярных векторов сумма произведений соответствующих координат равна нулю. Эти формулы закрывают большую часть стандартных вопросов ОГЭ по теме.

Перед ответом сделай короткую проверку: направление совпадает со стрелкой, знаки выглядят логично, длина не отрицательна, вычисления записаны без пропусков. В тестовой части аккуратная запись на черновике часто экономит время.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. Так ты сразу увидишь, какое правило уже работает уверенно, а какое нужно повторить.