Просто УрокТекстовые задачи на совместную работу
Задачи на совместную работу звучат грозно: бассейны, трубы, бригады, насосы. Но вся тема держится на одной формуле и аккуратной таблице. Разбираем два примера по шагам и ловушки со словами «вместе» и «по очереди», на которых теряют баллы.
Главная идея: работа = производительность × время
В любой задаче на работу есть три величины: объём работы, время и производительность — сколько работы делается за единицу времени. Их связывает одна формула.
работа = производительность × время
Из неё сразу следуют ещё две: производительность = работа / время и время = работа / производительность. Других формул в теме нет — вся хитрость в аккуратном раскладывании условия на эти три величины.
Если объём работы не задан, всю работу принимают за единицу: один бассейн, один забор, один заказ. Тогда производительность — доля всей работы за час: мастер красит забор за 6 часов, значит, за час он делает 1/6 забора.
вся работа = 1
И главный принцип темы: когда несколько человек работают вместе, их производительности складываются. Не времена и не «среднее» — именно доли работы в единицу времени.
Таблица: как оформлять решение
Чтобы не путаться, черти таблицу из трёх столбцов: «Вся работа», «Время», «Производительность». Каждому работнику — своя строка, внизу строка «вместе». Для двух мастеров она выглядит так:
| Работник | Вся работа | Время | Производительность |
|---|---|---|---|
| Первый | 1 | 6 ч | 1/6 |
| Второй | 1 | 3 ч | 1/3 |
| Вместе | 1 | ? | 1/6 + 1/3 |
Таблица сразу показывает, что известно и что искать: заполняешь две клетки — третья считается по формуле. Задача про бассейн или бригаду становится коротким упражнением с дробями.
Черти таблицу даже в простых задачах: на экзамене от волнения легко потерять нить, а таблица держит решение перед глазами — видно, что найдено и какой клетки не хватает.
Пример 1. Двое работают вместе
Условие: первый мастер красит забор за 6 часов, второй — за 3 часа. За сколько часов они покрасят тот же забор, работая вместе?
- Производительность первого: 1/6 забора в час.
- Производительность второго: 1/3 забора в час.
- Вместе: 1/6 + 1/3 = 1/6 + 2/6 = 3/6 = 1/2 забора в час.
- Время: 1 / (1/2) = 2 часа.
Ответ: 2 часа. Проверка: вместе они работают быстрее каждого поодиночке, поэтому время меньше, чем 3 часа у самого быстрого. Сходится.
Заметь: складывали мы дроби, а не часы. Варианты «6 + 3 = 9» или «в среднем 4,5 часа» — самая частая ошибка в этой теме.
Пример 2. Когда объём задан числом
Объём работы бывает задан явно — тогда формула работает напрямую, без единицы.
Условие: мастер делает 12 деталей в час, а ученик — 8 деталей. Сколько часов им нужен на заказ из 100 деталей при совместной работе?
- Совместная производительность: 12 + 8 = 20 деталей в час.
- Время: 100 / 20 = 5 часов.
- Ответ: 5 часов.
Работы здесь «больше единицы», но метод тот же: складываем производительности и делим объём на скорость. А если один присоединится позже — заказ делится на этапы, об этом ниже.
Потренируй задачи на работу
В тренажёре ОГЭ выбери текстовые задачи, получи короткую теорию и серии из пяти задач — от простых до экзаменационных. Регистрация занимает минуту и ничего не стоит.
Ловушки: «вместе» и «по очереди»
Слово «вместе» — знак складывать производительности. А «по очереди» означает этапы: каждый работает своё время, и нужно следить, сколько работы уже сделано.
Условие: первый печатает отчёт за 5 часов, второй — за 10. Первый поработал 2 часа, остальное допечатал второй. Сколько часов работал второй?
- Первый сделал 2 · 1/5 = 2/5 отчёта.
- Осталось: 1 − 2/5 = 3/5 отчёта.
- Второй печатает 1/10 отчёта в час: (3/5) / (1/10) = 6 часов.
Ответ: 6 часов. Производительности здесь не складываются — работа разделена на этапы, и каждый этап считается отдельно.
Когда вода вливается и вытекает
Вторая коварная ситуация — бассейн наполняется через одну трубу и одновременно опорожняется через другую. Производительности теперь вычитаются: наполнение даёт плюс, слив — минус. Наполнение за 4 часа — это 1/4 бассейна в час, слив за 6 часов — 1/6. Итог: 1/4 − 1/6 = 1/12 бассейна в час, то есть бассейн наполнится за 12 часов.
Первым делом ищи в условии слово-команду: «вместе» — складывай производительности, «по очереди» — дели работу на этапы, «наливает и выливает одновременно» — вычитай. Почти вся тема сидит в этих трёх командах.
Текстовые задачи ходят стаями: та же таблица выручает в задачах на движение и в задачах на смеси и сплавы. А если в условии сравнивают доли — «второй в два раза быстрее» — пригодится метод одной части из статьи про задачи на части, отношения и доли.
Итог: одна формула, таблица на три величины и внимание к словам-командам. С таким набором задачи на работу становятся самыми предсказуемыми баллами. А если нужна помощь — рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему разберут спокойно и по шагам.
Готовишься к экзаменам — не оставайся один
Задавай вопросы репетитору в любой момент, тренируй нужные номера и следи за прогрессом в личном кабинете. Бесплатно, в браузере, без установки.
Частые вопросы
Почему всей работе приписывают объём 1?
Если объём работы не задан, его принимают за единицу: один бассейн, один забор, один заказ. Тогда производительность — доля работы за час, и решение сводится к сложению дробей. С любым другим объёмом ответ тот же.
Почему нельзя складывать время работы?
Время обратно пропорционально производительности: вместе люди работают быстрее, поэтому общее время всегда меньше времени самого быстрого. Складывать нужно производительности — доли работы в час, а не часы.
Как решать задачу, если один работает быстрее другого?
Обозначь время одного за t, время второго вырази через t (например, t + 3), запиши производительности 1/t и 1/(t + 3) и сложи. Их сумма — доля работы за час, дальше остаётся уравнение.
В каких заданиях ОГЭ встречаются задачи на работу?
Среди текстовых задач, где нужно привести решение, а не только ответ: бассейны, трубы, бригады, насосы. Актуальную структуру и номера заданий уточняйте на официальном сайте ФИПИ.