Задание 9 ОГЭ по математике: как решать

Что проверяет задание 9

В задании 9 нужно решить уравнение и записать в ответ число — иногда просто корень, иногда с условием вроде «укажи больший». Набор типов может немного меняться от года к году, поэтому перед тренировкой сверься с актуальной демоверсией ФИПИ: там видно и формулировки, и форму ответа.

Любой вариант закрывают три алгоритма — линейное, квадратное и рациональное уравнение. Решающее значение имеет аккуратная арифметика и привычка проверять ответ подстановкой.

Линейные уравнения

Линейное уравнение — уравнение первой степени: в нём есть только x, без квадратов и дробей с x в знаменателе. Общий вид и корень:

ax + b = 0, значит x = −ba

Алгоритм короткий: раскрыть скобки, собрать x в одной части, числа — в другой, разделить.

1. Пример: 4(x − 2) = 2x + 6.
2. Раскрываем скобки: 4x − 8 = 2x + 6.
3. Переносим: 4x − 2x = 6 + 8, то есть 2x = 14.
4. Делим обе части на 2: x = 7.
5. Проверка подстановкой: 4 · (7 − 2) = 20 и 2 · 7 + 6 = 20. Сходится.

Главное правило переноса: слагаемое, которое переходит через знак равенства, меняет знак. Большинство потерь баллов здесь — из-за минуса. Если тема плавает, закрой пробел заранее — в отдельной статье про линейные уравнения алгоритм разобран ещё подробнее.

Квадратные уравнения и дискриминант

Если в уравнении есть x², приводим его к стандартному виду и считаем дискриминант:

\( ax^2 + bx + c = 0 \)

D = b² − 4ac, корни: x = (−b ± √D) / 2a

1. Пример: x² − 5x + 6 = 0. Здесь a = 1, b = −5, c = 6.
2. Считаем дискриминант: D = 25 − 24 = 1.
3. Извлекаем корень: √D = 1.
4. Корни: x = (5 ± 1) / 2, то есть x₁ = 2 и x₂ = 3.
5. Проверка: сумма корней 2 + 3 = 5 совпадает с коэффициентом −b, произведение 2 · 3 = 6 равно c. Сходится.

Быстрая проверка через сумму и произведение корней — это теорема Виета, и она экономит время. Квадратные уравнения встречаются не только в задании 9 — они спрятаны внутри рациональных уравнений и текстовых задач. Разбор всех случаев, включая нулевой и отрицательный дискриминант, есть в статье про квадратные уравнения и дискриминант.

Рациональные уравнения и ОДЗ

Если x стоит в знаменателе дроби, уравнение называют рациональным. Здесь добавляется один обязательный шаг — ОДЗ, область допустимых значений:

знаменатель ≠ 0

Сначала выписываем, при каких x знаменатель обращается в ноль, — эти значения исключаем из рассмотрения. Дальше решаем как привыкли: умножаем обе части на знаменатель и получаем целое уравнение.

1. Пример: 6 / (x − 3) = x + 2. ОДЗ: x ≠ 3.
2. Умножаем обе части на (x − 3): 6 = (x + 2)(x − 3).
3. Раскрываем скобки: x² − x − 6 = 6, то есть x² − x − 12 = 0.
4. Дискриминант: D = 1 + 48 = 49, √D = 7.
5. Корни: x = (1 ± 7) / 2, то есть −3 и 4.
6. Ни один корень не равен 3, значит подходят оба. Ответ: −3 и 4.

Бывает, что найденный корень попадает в запретное значение — тогда его вычёркиваем, даже если всё решено верно.

Отбор корней по условию

Условие задания 9 часто добавляет к решению ещё одно действие: «в ответе укажи больший корень», «меньший» или «корень из промежутка». Уравнение при этом решается как обычно, но в бланк идёт не всё.

1. Пример: x² − 3x − 4 = 0, в ответе нужен больший корень.
2. Дискриминант: D = 9 + 16 = 25, √D = 5.
3. Корни: x = (3 ± 5) / 2, то есть −1 и 4.
4. Спрашивали больший — записываем 4.

Перечитывать вопрос после решения стоит две секунды и спасает балл: уравнение может быть решено идеально, а в бланк записан не тот корень.

Типичные ошибки

Задание 9 редко проваливается из-за «сложной математики» — почти всегда это одна и та же пятерка промахов:

• минус при переносе слагаемого через знак равенства;
• ошибка в формуле дискриминанта: D = b² − 4ac считается через вычитание, не через сложение;
• потерянная ОДЗ в дробном уравнении. Ловушка: (x² − 9) / (x − 3) = 6 после сокращения даёт x + 3 = 6 и x = 3, но x = 3 запрещён знаменателем — правильный ответ: корней нет;
• в бланк записан не тот корень: решили верно, а вопрос был про меньший;
• арифметика без калькулятора: умножение и вычитание проверяй обратным действием.

Заведи тетрадь ошибок: каждую неверно решённую задачу 9 разбирай с записью, на каком шаге сорвались. Через две недели начнёшь узнавать свои ловушки заранее.

Задание 9 — из тех, где балл добывается алгоритмом, а не талантом: три вида уравнений, три короткие схемы, внимание к ОДЗ и формулировке вопроса. Дальше по первой части стоит разобрать задание 10 — теорию вероятностей, где тоже достаточно одной формулы. А если нужна система, тренажёр и короткая теория дают результат быстрее случайных вариантов. И помни: рядом всегда есть Просто Урок, где любую тему объяснят спокойно и по шагам.