Задание 11: человек

Особенности задач про человека в задании 11 ЕГЭ

Кажется, что текстовая задача про двух пешеходов или бригаду рабочих — это легкий первичный балл, но именно здесь каждый третий выпускник теряет драгоценное время и ошибается в арифметике. Путаница в единицах измерения, неверно выбранная неизвестная или невнимательность к условию разворота часто лишают заслуженного результата. В этом руководстве мы разберем универсальный алгоритм, который поможет тебе безошибочно решать любые прототипы задания 11 на движение человека и совместную работу на ЕГЭ по математике.

В реальных тестах сюжеты с участием людей делятся на два ключевых блока: механическое перемещение (пешеход, бегун, лыжник) и совместная деятельность (мастера, ученики, землекопы). Главный секрет успеха заключается в том, чтобы не пытаться удерживать все условия в голове, а сразу переводить текстовое описание в наглядную математическую модель. Освоив базовые принципы составления таблиц и уравнений, ты перестанешь бояться громоздких формулировок и сможешь решать задачу за 4–6 минут.

Математические модели: движение и производительность

Любая задача с участием человека строится вокруг фундаментального соотношения трех величин. В задачах на движение это расстояние, скорость и время, а в задачах на работу — объем работы, производительность и время выполнения.

S = v · t   (Расстояние = Скорость · Время)
A = p · t   (Работа = Производительность · Время)

Если в условии задачи объем выполненной работы не задан в конкретных единицах (детали, метры, страницы), всю работу принимают за единицу: A = 1. Тогда производительность одного человека равна p = 1 / t, где t — время, за которое он выполняет весь объем в одиночку. При совместном труде производительности складываются: p_общ = p₁ + p₂.

Если тебе требуется дополнительная тренировка в составлении уравнений для более сложных комбинированных сюжетов, открой бесплатный интерактивный тренажер и проверь себя на реальных экзаменационных примерах.

Сравнительная таблица типов задач

Чтобы быстро сориентироваться на экзамене, используй классификацию основных сюжетов, встречающихся в экзаменационных вариантах:

Тип сюжета	Основная формула	Ключевое правило составления модели
Движение навстречу (пешеходы)	v_сбл = v₁ + v₂	Время до встречи равно общему расстоянию, деленному на сумму скоростей: t = S / (v₁ + v₂).
Движение вдогонку	v_уд = v₁ − v₂ (v₁ > v₂)	Разница пройденных расстояний равна начальной дистанции между людьми.
Движение по замкнутому кругу	S_разн = k · L_круга	Быстрый бегун опережает медленного на один полный круг при каждой встрече: (v₁ − v₂) · t = L.
Совместная работа бригады	1 / t_общ = 1 / t₁ + 1 / t₂	Складываются только производительности труда, складывать затраченное время категорически нельзя.

Понимание этой классификации позволяет мгновенно заполнить расчетную таблицу и перейти к вычислениям без лишних сомнений.

Пошаговый разбор реального прототипа

Рассмотрим классическую задачу: «Два пешехода отправляются одновременно из одного пункта в другой, расположенный на расстоянии 24 км. Первый идет со скоростью на 1 км/ч большей, чем второй, и прибывает в пункт назначения на 2 часа раньше. Найдите скорость первого пешехода».

Пусть скорость первого пешехода равна x км/ч (x > 1). Тогда скорость второго пешехода равна (x − 1) км/ч. Время движения первого: t₁ = 24 / x часов. Время движения второго: t₂ = 24 / (x − 1) часов. Второй пешеход шел медленнее и потратил на 2 часа больше, следовательно, t₂ − t₁ = 2.

\( \dfrac{24}{x - 1} - \dfrac{24}{x} = 2 \)
\( \dfrac{12}{x - 1} - \dfrac{12}{x} = 1 \)
\( 12 \cdot x - 12 \cdot (x - 1) = x \cdot (x - 1) \)
\( 12x - 12x + 12 = x^2 - x \)
\( x^2 - x - 12 = 0 \)
\( (x - 4) \cdot (x + 3) = 0 \)
x₁ = 4,   x₂ = −3 (не подходит по смыслу задачи, v > 0)
Ответ: 4

Всегда перечитывай вопрос перед записью ответа: спрашивали скорость первого пешехода, и мы сразу обозначили ее за x, что избавило от лишних действий.

Ловушки и типичные ошибки при составлении уравнений

Анализ работ выпускников показывает, что большинство ошибок связано не с непониманием сути, а с невнимательным оформлением данных.

Если ты хочешь разобрать аналогичные задания для 9 класса или смежные темы, загляни в материалы для подготовки к ОГЭ по математике, где закладывается фундамент для решения текстовых моделей.

Что запомнить: чек-лист и план действий

Чтобы гарантированно получить балл за задание 11, держи в голове четкий алгоритм:

1. Внимательно прочитай текст и определи категорию задачи: движение навстречу, вдогонку или совместная работа.
2. Приведи все единицы измерения к единому формату (километры и часы, метры и минуты).
3. Составь стандартную таблицу «Величина 1 – Величина 2 – Результат» и вырази время через расстояние и скорость (или объем и производительность).
4. Составь дробно-рациональное уравнение на основе известной разницы во времени.
5. Реши уравнение, отбрось отрицательные корни и проверь, на тот ли вопрос задачи дан ответ.

Закрепи навык на практике прямо сейчас: перейди в личный кабинет ученика и реши 5 тематических заданий бесплатно, чтобы довести этот алгоритм до автоматизма.