Задание 16 ЕГЭ: экономическая задача про вклады

Пойми логику задачи про вклад

Задачи про вклады часто пугают длинным условием и процентами, но на экзамене важно не считать наугад, а увидеть последовательность изменений суммы. В этом разборе ты научишься переводить текст в формулу, учитывать пополнения и снятия и проверять ответ без лишних действий.

В задании 16 ЕГЭ по математике профильного уровня обычно описывается банковский вклад на несколько лет. Процент начисляется ежегодно, а затем сумма может изменяться из-за дополнительных взносов или частичного снятия. Нужно найти неизвестную величину: первоначальный вклад, процентную ставку, размер пополнения или итоговую сумму.

Главное правило: каждый год сумма умножается на один и тот же коэффициент. Если банк начисляет p процентов, коэффициент равен 1 + p : 100. Например, при ставке 8% используется множитель 1,08. После начисления процентов прибавляются деньги, внесённые по условию.

Сумма после начисления процентов = предыдущая сумма × коэффициент
Коэффициент при 8% = 1 + 8 : 100 = 1,08
Новая сумма = предыдущая сумма × 1,08 + пополнение

Переводи условие в таблицу

До вычислений удобно составить таблицу по годам. В первой строке запиши сумму в начале года, затем действие банка и сумму в конце года. Так ты не перепутаешь момент пополнения: оно может происходить до начисления процентов или после него.

Этап	Что происходит	Запись
Начало года	Известна текущая сумма	S
Начисление	Сумма увеличивается на p%	S × (1 + p : 100)
Пополнение	Вносят фиксированную сумму	+ a
Итог	Получают сумму следующего этапа	S × k + a

Например, если вклад 50 000 рублей ежегодно увеличивается на 10%, а в конце каждого года пополняется на 3 000 рублей, переход выглядит так: новая сумма = старая сумма × 1,1 + 3 000. Одинаковая операция повторяется несколько раз.

Если пополнение сделано в начале года, сначала прибавь его к текущей сумме, а затем умножь результат на коэффициент. Порядок действий меняет ответ, поэтому отмечай в черновике слова «в начале» и «в конце».

Решай через уравнение и обратные действия

В задачах с неизвестной ставкой или первоначальным вкладом удобно обозначить неизвестное буквой. Сначала выпиши выражение для каждого года, а потом приравняй последнюю сумму к числу из условия. Не раскрывай скобки слишком рано: структура решения помогает увидеть, где произошла ошибка.

Рассмотрим полный пример. Вклад увеличивается на 10% ежегодно. В конце первого года вкладчик внес 5 000 рублей, а в конце второго снял 2 000 рублей. После двух лет на счёте стало 40 000 рублей. Найдём первоначальную сумму.

Пусть первоначальный вклад равен x рублей.
После первого года и пополнения: 1,1x + 5 000.
После второго начисления и снятия: 1,1(1,1x + 5 000) − 2 000 = 40 000.
\( 1,21x + 5 500 - 2 000 = 40 000. \)
\( 1,21x + 3 500 = 40 000. \)
\( 1,21x = 36 500. \)
\( x = 36 500 : 1,21 = 30 165,289... \)
Ответ: примерно 30 165,29 рубля.

Денежный ответ округляй до копеек, если это требуется условием. Проверка: 30 165,29 × 1,1 + 5 000 = 38 181,82; 38 181,82 × 1,1 − 2 000 = 40 000,002, что объясняется округлением.

Бесплатная практика в личном кабинете «Просто Урок» поможет закрепить именно такие переходы между этапами.

Учитывай проценты, снятия и сроки

Процентный рост нельзя заменять сложением одной и той же суммы. При капитализации проценты начисляются на уже увеличенный вклад. Поэтому за два года при ставке 10% получится множитель 1,1² = 1,21, а не 1,2. Разница особенно заметна при большом числе лет.

Если ставка дана дробью, сначала переведи её в понятный коэффициент. При 7,5% коэффициент равен 1,075. Если вклад уменьшается на 12%, используется 0,88, потому что остаётся 100% − 12% = 88% суммы.

Снятие денег записывается знаком минус. Но важно определить момент операции. Записи 1,08S − 4 000 и 1,08(S − 4 000) описывают разные ситуации. В первом случае деньги сняли после начисления процентов, во втором — до него.

Следи и за единицами времени. Если проценты начисляются раз в год, три года означают три умножения. Если в условии сказано, что начисление происходит в конце каждого года, не добавляй лишний этап перед первым годом.

Проверь решение перед ответом

После получения числа сделай быструю проверку здравого смысла. Если ставка положительная и пополнений больше, чем снятий, итог обычно должен быть больше первоначальной суммы. Если получилось наоборот, проверь знак операции и порядок действий.

Отдельно проверь округление. В промежуточных вычислениях сохраняй как можно больше цифр, а округляй только в финале. Если ответ должен быть целым числом рублей, смотри на формулировку: банк может требовать округление до рублей или до копеек.

Частая ошибка в задании 16 — решить арифметическую часть, но не ответить на вопрос. Иногда требуется найти процент, и тогда после составления уравнения нужно решить его относительно коэффициента, а затем перевести коэффициент в проценты: k = 1,06 → 6%.

Ещё одна полезная проверка — подставить ответ обратно в исходную схему. Пересчитай каждый год отдельно, включая пополнения и снятия. Такая проверка занимает немного времени, но обнаруживает потерянный ноль, неверный знак или лишнее умножение.

Если хочется потренироваться без бумажной рутины, в личном кабинете «Просто Урок» можно открыть бесплатный тренажёр и решать задачи по шагам.

Запомни алгоритм и сделай следующий шаг

Сначала выдели неизвестную величину и переведи процент в коэффициент. Затем выпиши операции по годам в правильном порядке: начисление, пополнение или снятие. После этого составь уравнение, реши его и обязательно проверь подстановкой.

Короткая памятка:

p% роста → множитель 1 + p : 100
p% уменьшения → множитель 1 − p : 100
Пополнение → +a
Снятие → −a
Операция в начале периода → сначала изменение, потом умножение
Операция в конце периода → сначала умножение, потом изменение

Не пытайся запомнить один шаблон на все случаи. Сначала читай слова о времени операции, потому что именно они определяют формулу. Зарегистрируйся в бесплатном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме, чтобы закрепить алгоритм на разных условиях.

Такой порядок подготовки полезен и перед пробником, и перед экзаменом: ты тренируешь не только вычисления, но и внимательное чтение математического текста.