Задание 15 ЕГЭ: неравенства методом рационализации

Пойми идею метода рационализации

Неравенства в задании 15 ЕГЭ часто выглядят громоздко: корни, логарифмы и дроби мешают увидеть простой ответ. Метод рационализации помогает заменить сложное выражение произведением множителей и решить задачу по привычному методу интервалов.

Рационализация особенно полезна, когда в неравенстве встречаются выражения вида √f(x) − √g(x), logₐf(x) − logₐg(x) или дробь с переменной в основании логарифма. Главная мысль: не нужно сразу возводить обе части в квадрат или переносить всё в одну сторону. Сначала преобразуй знак разности.

Для корней используется формула:

\( \sqrt{A} - \sqrt{B} = (A - B) : (\sqrt{A} + \sqrt{B}) \)

При допустимых значениях A и B сумма √A + √B положительна. Поэтому знак разности √A − √B совпадает со знаком A − B. Сложное выражение превращается в более простое, а лишний корень исчезает.

В ЕГЭ профильного уровня такой приём экономит время и снижает риск потерять решения из-за неверного возведения в квадрат.

Работай по алгоритму без лишних преобразований

Перед решением выпиши область допустимых значений. Для корня подкоренное выражение должно быть неотрицательным, для логарифма аргумент положителен, а основание удовлетворяет условиям: a > 0 и a ≠ 1.

Дальше перенеси всё в одну сторону и найди место, где появляется разность одинаковых функций. Например, в выражении √(x + 5) − √(2x − 1) рационализируй именно эту разность, а не всё неравенство целиком.

Полезный алгоритм:

1. Найти ОДЗ.
2. Перенести части неравенства в одну сторону.
3. Заменить разность корней или логарифмов произведением множителей.
4. Определить знак каждого множителя.
5. Отметить нули и выколотые точки.
6. Выбрать подходящие промежутки.

Если выражение содержит дробь, отдельно проверь знаменатель. Точка, в которой знаменатель равен нулю, не входит в ответ, даже если после преобразований она исчезла.

Закрепить первые шаги можно в бесплатной практике личного кабинета Просто Урок: после регистрации удобно возвращаться к похожим неравенствам.

Разбери пример с корнями до ответа

Решим неравенство √(x + 3) ≥ √(7 − x). Здесь обе части определены не при всех x, поэтому начинаем с ОДЗ.

\( x + 3 \ge 0 \to x \ge -3 \)
7 − x ≥ 0 → x ≤ 7
ОДЗ: x ∈ [−3; 7]

Переносим правую часть влево и рационализируем разность корней:

\( \sqrt{x + 3} - \sqrt{7 - x} \ge 0 \)
\( (x + 3 - (7 - x)) : (\sqrt{x + 3} + \sqrt{7 - x}) \ge 0 \)
\( (2x - 4) : (\sqrt{x + 3} + \sqrt{7 - x}) \ge 0 \)

На ОДЗ знаменатель положителен, кроме ситуации, когда оба корня равны нулю одновременно. Здесь это невозможно: x = −3 и x = 7 не могут выполняться одновременно. Значит, знак дроби определяется только числителем.

2x − 4 ≥ 0
x ≥ 2

Пересекаем результат с ОДЗ:

[2; 7]

Точка x = 2 включается, потому что знак «≥». Точка x = 7 тоже включается: правый корень равен нулю, а левый определён. Ответ: [2; 7].

Научиcь распознавать логарифмическую рационализацию

Для логарифмов действует похожая идея, но нужно внимательно учитывать основание. Если a > 1, функция logₐt возрастает, поэтому:

\( \log ₐA - \log ₐB = \log ₐ(A : B) \)
\( \log ₐA - \log ₐB \ge 0 \to A \ge B \)

Если 0 < a < 1, функция убывает, и знак меняется:

\( \log ₐA - \log ₐB \ge 0 \to A \le B \)

Вместо запоминания множества частных случаев можно использовать разность логарифмов и знак основания. Например, при a > 1 неравенство logₐ(x + 2) ≥ logₐ(3x − 1) превращается в x + 2 ≥ 3x − 1, но сначала требуется ОДЗ: x + 2 > 0 и 3x − 1 > 0.

Иногда рационализируют выражение с переменным основанием:

\( log_xA - log_xB = log_x(A : B) \)

Здесь дополнительно нужны x > 0 и x ≠ 1. Ошибка в основании меняет монотонность и может полностью изменить ответ.

Основание	Поведение logₐx	Знак при сравнении
a > 1	Возрастает	Сохраняется
0 < a < 1	Убывает	Меняется

Для дополнительной тренировки используй бесплатный тренажёр в кабинете Просто Урок и сразу проверяй, на каком шаге появилась ошибка.

Избегай ошибок, которые стоят баллов

Первая ошибка — забыть ОДЗ. Например, после возведения в квадрат могут появиться посторонние корни. Рационализация не отменяет ограничений исходного выражения.

Вторая ошибка — неверно определить знак знаменателя. В формуле для корней √A + √B неотрицательна, но не всегда строго положительна. Если оба корня могут обратиться в ноль, эту точку нужно проверить отдельно.

Третья ошибка — потерять скобки:

\( A - (B - C) = A - B + C \)

В задачах с корнями это особенно важно: A − (7 − x) превращается в A − 7 + x, а не в A − 7 − x.

Четвёртая ошибка — применять формулу логарифмов без проверки аргументов. Запись logₐ(A : B) допустима только при A > 0 и B > 0. Наконец, не смешивай строгий и нестрогий знаки: «>» даёт выколотую точку, а «≥» — закрашенную.

Запомни схему и закрепи её практикой

Метод рационализации нужен, чтобы заменить сравнение сложных выражений сравнением простых множителей. Для корней разность √A − √B имеет тот же знак, что и A − B, потому что √A + √B положительна. Для логарифмов сначала проверь ОДЗ, затем учти: основание больше 1 сохраняет знак, а основание между 0 и 1 меняет его.

Перед записью ответа проверь три вещи: все ли ограничения учтены, правильно ли расставлены точки на числовой прямой, совпадает ли тип скобок со знаком неравенства. В задании 15 ЕГЭ оформление решения должно быть понятным: ОДЗ, преобразование, знаки, ответ.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. После каждого решения сверяй не только ответ, но и первый неверный шаг: именно он показывает, что нужно повторить.

Если корни и логарифмы пока смешиваются в одну большую схему, решай их отдельными сериями. Сначала три задания с корнями, затем два с логарифмами. Так правило закрепится без перегрузки.