Задание 14 ЕГЭ: стереометрия без страха

Как подступиться к стереометрии спокойно

Стереометрия часто пугает объёмными рисунками и большим количеством букв, но на экзамене важно не «видеть» фигуру целиком, а последовательно находить нужные связи. В этом материале ты разберёшь алгоритм задания 14 ЕГЭ и научишься превращать сложный чертёж в несколько понятных шагов.

Задание 14 относится ко второй части профильного ЕГЭ по математике. Обычно нужно доказать перпендикулярность, найти угол, расстояние или объём. Ответ должен быть записан с объяснением: одной цифры недостаточно.

Начни с чтения условия. Выпиши, какая фигура дана, что известно о рёбрах и углах, что требуется найти или доказать. Затем отметь на рисунке все прямые, параллельные и перпендикулярные друг другу. Часто решение становится короче уже на этом этапе.

Полезно разделять задачу на плоскости. Если в условии есть треугольник, квадрат или прямоугольник, сначала работай внутри этой плоской фигуры, а затем возвращайся к пространству.

Потренироваться на похожих чертежах можно в бесплатном личном кабинете «Просто Урок»: открыть практику.

Какие факты составляют основу решения

Главный факт о перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости. Это часто становится центральным доказательством в задании 14.

Если прямая перпендикулярна плоскости, она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому после доказательства перпендикулярности можно сразу использовать теорему о трёх перпендикулярах или находить угол через прямоугольный треугольник.

Для угла между прямой и плоскостью нужно найти угол между этой прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Угол между плоскостями находят как угол между двумя прямыми, перпендикулярными линии их пересечения.

Расстояние от точки до плоскости — это длина перпендикуляра. Расстояние между скрещивающимися прямыми можно искать через общий перпендикуляр или через подходящий параллелепипед и его диагонали.

Вычислительная часть опирается на знакомые формулы: теорему Пифагора, свойства равнобедренного треугольника, синус, косинус и тангенс. Записывай единицы измерения и проверяй, что искомая величина не отрицательна.

Алгоритм решения задания 14

Шаг 1. Сделай аккуратный чертёж. Не обязательно рисовать идеально, но подпиши известные длины, прямые углы и равные рёбра.

Шаг 2. Определи тип вопроса. Если требуется доказательство, ищи определения и признаки. Если требуется число, ищи треугольник, где известны или легко находятся две величины.

Шаг 3. Выбери опорную плоскость. Обычно это основание призмы, грань куба или треугольник, содержащий искомый угол.

Шаг 4. Построй недостающий отрезок. Это может быть диагональ грани, высота, проекция или общий перпендикуляр. Не добавляй линию без объяснения, что она означает.

Шаг 5. Запиши теоретическое обоснование. Например: «AB перпендикулярна AC и AD, так как… Следовательно, AB перпендикулярна плоскости…»

Шаг 6. Выполни вычисления и проверь результат. В конце сопоставь длину с размерами фигуры: диагональ не может оказаться короче катета, а расстояние не бывает отрицательным.

После разбора удобно закрепить каждый шаг в коротком тренажёре: бесплатная практика в кабинете «Просто Урок».

Разобранный пример с решением

Рассмотрим прямую призму ABCDA₁B₁C₁D₁. Основание — прямоугольник ABCD, AB = 6, AD = 8, высота AA₁ = 12. Найдём угол между диагональю A₁C и плоскостью основания ABCD.

Сначала определяем проекцию диагонали A₁C на основание. Точка A₁ проектируется в A, а точка C уже лежит в основании, поэтому проекция A₁C — это AC. Треугольник A₁AC прямоугольный в точке A, потому что AA₁ перпендикулярна плоскости основания.

\( AC^2 = AB^2 + AD^2 \)
\( AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \)
\( AC = 10 \)
\( \tg ∠A_1CA = AA_1 \div AC = 12 \div 10 = 6 \div 5 \)
\( ∠A_1CA = \arctg 6⁄5 \)

Искомый угол равен углу A₁CA: это угол между прямой A₁C и её проекцией AC. Если в ответе требуется приближённое значение, его находят по таблицам или с помощью вычислительного устройства, разрешённого правилами экзамена.

Обрати внимание на логику: сначала найдено основание прямоугольного треугольника, затем установлен сам угол. Нельзя сразу использовать высоту как искомый угол: высота перпендикулярна плоскости, а не обязательно образует с наклонной прямой угол 90°.

Ошибки, которые мешают получить баллы

Первая ошибка — считать очевидным то, что нужно доказать. На рисунке линии могут выглядеть перпендикулярными, но в решении требуется указать признак или свойство.

Вторая ошибка — путать длину отрезка с его проекцией. Наклонная обычно длиннее своей проекции. Если наклонная равна l, а угол с плоскостью равен α, то высота выражается как l · sin α, а проекция — как l · cos α.

Третья ошибка — использовать теорему Пифагора в непрямоугольном треугольнике. Сначала найди прямой угол. Если его нет, возможно, нужна теорема косинусов или дополнительное построение.

Четвёртая ошибка — терять условие о прямой призме или параллелепипеде. В прямой призме боковые рёбра перпендикулярны основанию, а в прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками.

Пятая ошибка — писать вычисления без связующих фраз. Проверяющий должен видеть, откуда взялась каждая величина и почему выбран именно этот треугольник.

Что запомнить перед экзаменом

Стереометрия решается не догадкой по картинке, а цепочкой: чертёж → плоскость → нужный треугольник → теорема → вычисления. Для доказательств держи в памяти признаки перпендикулярности прямой и плоскости, свойства проекций и теорему о трёх перпендикулярах.

Для вычислений проверяй три вещи: где прямой угол, какой отрезок является проекцией и соответствует ли формула именно найденному углу. В формулах внимательно различай √, ², × и ·, а дроби сокращай только после записи равенства.

Если решение не получается, не перечёркивай всё сразу. Отметь место, где исчезла логика: не доказана перпендикулярность, выбран неправильный треугольник или перепутана проекция. Такой анализ быстрее улучшает навык, чем механическое решение десятков примеров.

Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном кабинете «Просто Урок» и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа возвращайся к алгоритму и проверяй не только число, но и обоснование.