Задание 16 ЕГЭ: кредиты и дифференцированные платежи

Как устроено задание 16 о кредитах

Кредитные задачи в ЕГЭ часто пугают длинным условием, хотя обычно проверяют несколько понятных действий: найти сумму долга, процент и размер платежа. Разберём алгоритм так, чтобы ты мог уверенно составить таблицу, выбрать формулу и проверить ответ.

В задании 16 чаще всего говорится, что человек берёт кредит на несколько лет, а затем возвращает его дифференцированными платежами. Это значит, что основная часть долга погашается равными долями, а проценты начисляются на остаток задолженности. Поэтому общий платёж постепенно уменьшается.

Сначала выпиши из условия три величины: первоначальную сумму кредита, годовую процентную ставку и срок. Если ставка дана в процентах, переведи её в десятичную дробь: 12% = 0,12. Если платежи ежемесячные, годовую ставку обычно делят на 12, если это прямо следует из условия.

Важно не путать сумму кредита с общей суммой выплат. Первая показывает, сколько банк выдал, а вторая включает долг и все начисленные проценты.

Как считать дифференцированный платёж

При дифференцированной схеме основная часть долга постоянна. Если кредит равен S рублей, а срок составляет n месяцев, то ежемесячное погашение основного долга равно S ÷ n. Проценты в конкретном месяце считают от долга, который оставался перед этим платежом.

Для месяца с номером k остаток перед платежом можно записать так: S − (k − 1) × S ÷ n. Если месячная ставка равна r, то проценты составят остаток × r. Сам платёж равен сумме погашения основного долга и процентов.

Основной долг за месяц = S ÷ n
Остаток перед k-м платежом = S − (k − 1) × S ÷ n
Проценты за k-й месяц = [S − (k − 1) × S ÷ n] × r
Платёж за k-й месяц = S ÷ n + проценты

Для первого платежа проценты самые большие, потому что весь кредит ещё не погашен. Последний платёж минимален: проценты начисляются только на последнюю долю долга.

В личном кабинете «Просто Урок» можно бесплатно потренироваться на похожих задачах и проверить, где именно появилась ошибка в расчётах.

Полный разбор задачи с таблицей

Рассмотрим типичный пример. Кредит 120 000 рублей взят на 10 месяцев под 12% годовых. Платежи дифференцированные, проценты начисляются ежемесячно. Найдём первый, второй и последний платежи, а затем общую сумму выплат.

Месячная ставка равна 12% ÷ 12 = 1% = 0,01. Основной долг каждый месяц: 120 000 ÷ 10 = 12 000 рублей.

1-й месяц: остаток 120 000; проценты 120 000 × 0,01 = 1 200; платёж 12 000 + 1 200 = 13 200
2-й месяц: остаток 108 000; проценты 108 000 × 0,01 = 1 080; платёж 12 000 + 1 080 = 13 080
10-й месяц: остаток 12 000; проценты 12 000 × 0,01 = 120; платёж 12 000 + 120 = 12 120
Сумма процентов = 1 200 + 1 080 + 960 + 840 + 720 + 600 + 480 + 360 + 240 + 120 = 6 600
Общая сумма выплат = 120 000 + 6 600 = 126 600 рублей

Удобная проверка: остатки образуют арифметическую прогрессию от 120 000 до 12 000, а проценты от них также уменьшаются равномерно. Значит, ответ должен быть больше 120 000, но последний платёж меньше первого.

Месяц	Остаток, руб.	Проценты, руб.	Платёж, руб.
1	120 000	1 200	13 200
2	108 000	1 080	13 080
10	12 000	120	12 120

Как быстро находить сумму процентов

Вместо сложения всех месяцев можно использовать свойства арифметической прогрессии. Остатки перед платежами равны S, S − S ÷ n, S − 2 × S ÷ n и так далее, до S ÷ n. Их среднее значение равно (S + S ÷ n) ÷ 2.

Сумма всех остатков равна среднему значению, умноженному на число месяцев. Поэтому при постоянной месячной ставке r сумма процентов вычисляется так: r × n × (S + S ÷ n) ÷ 2.

Сумма процентов = r × n × (S + S ÷ n) ÷ 2
Общая сумма выплат = S + сумма процентов

Формула полезна, когда в вопросе требуется общая переплата. Но перед применением проверь, что ставка действительно месячная и начисление происходит на остаток долга. В некоторых условиях ставка уже указана за месяц, а иногда банк использует другую схему.

Если нужно сравнить два кредита, сначала вычисли общую переплату каждого. Меньший ежемесячный платёж не всегда означает меньшую переплату: срок может оказаться длиннее.

Типичные ошибки на экзамене

Первая ошибка — взять проценты от первоначальной суммы каждый месяц. Так считают только при особой схеме, а в дифференцированном кредите база каждый раз уменьшается.

Вторая ошибка — забыть, что номер месяца влияет на остаток. Перед первым платежом вычитается 0 долей, перед вторым — 1 доля, перед третьим — 2 доли. Поэтому формула содержит k − 1.

Третья ошибка — смешать проценты и доли. Число 12% нельзя подставлять вместо 0,12. Если ставка годовая, проверь переход к месячной: 12% годовых обычно дают 1% в месяц в рамках школьной модели.

Четвёртая ошибка — округлять слишком рано. Сохраняй точные дроби, а округление выполняй только в конце, если это разрешено условием.

После решения сравни первый и последний платежи. Первый должен быть больше последнего, а сумма погашенного основного долга — совпасть с первоначальным кредитом.

Дополнительные задания с постепенным усложнением доступны в бесплатной практике личного кабинета «Просто Урок».

Что запомнить перед решением

Дифференцированный платёж состоит из постоянной доли основного долга и уменьшающихся процентов. Основной долг за месяц равен S ÷ n. Проценты считают от остатка перед платежом, а не всегда от первоначальной суммы.

Рабочий алгоритм такой: выпиши S, n и ставку; переведи процент в нужную форму; найди долю основного долга; вычисли остаток; прибавь проценты; проверь направление изменения платежей. Для общей переплаты используй сумму арифметической прогрессии.

На экзамене внимательно читай, что именно требуется: первый платёж, последний платёж, переплата или общая сумма выплат. Эти величины различаются.

Следующий шаг: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете и реши 5 заданий по теме. После каждого ответа выписывай не только результат, но и формулу остатка: так способ закрепится быстрее.