Задание 18: растворы

Что такое задачи на растворы и сплавы в ЕГЭ

Текстовые сюжетные задачи на смеси, растворы и сплавы часто вызывают ступор у выпускников: кажется, что в условии переплетено слишком много процентов, объёмов и масс. Родители переживают за потерю первичных баллов на первой части, а старшеклассники тратят драгоценные минуты экзамена на хаотичные попытки составить уравнение наугад. На самом деле этот тип задач подчиняется строгой и прозрачной логике, освоив которую один раз, ты гарантированно заберёшь свой балл на профильном ЕГЭ по математике.

В основе любого условия лежит бытовой процесс: смешивание двух жидкостей разной крепости, добавление чистой воды, сплавление металлов разной пробы или выпаривание жидкости. Независимо от того, о чём идёт речь — о соляной кислоте, медном сплаве или сахарном сиропе — математическая модель остаётся абсолютно одинаковой. Главное — перестать складывать проценты напрямую и научиться отслеживать движение «чистого вещества».

Если научиться структурировать условие в единую таблицу, любая громоздкая формулировка превратится в простое линейное уравнение за 3–4 минуты.

Базовая формула и закон сохранения массы

Чтобы уверенно решать задания на смеси, нужно запомнить одну фундаментальную величину — массовую концентрацию (долю чистого вещества). Концентрация показывает, какую часть от общей массы раствора составляет растворённое вещество (кислота, соль, сухое вещество или благородный металл). В расчётах процентную концентрацию всегда переводят в десятичную или обыкновенную дробь: например, 15% превращаются в 0,15.

Связь между ключевыми величинами выражается формулой: масса чистого вещества равна произведению массы всего раствора на его концентрацию. При смешивании нескольких компонентов в изолированной системе действуют два нерушимых закона сохранения: общая масса полученной смеси равна сумме масс исходных компонентов, а общая масса чистого вещества складывается из массы чистых веществ каждого слагаемого.

Параметр	Обозначение	Единицы измерения	Связь параметров
Масса раствора (сплава)	m	кг или г	m = m₁ + m₂
Концентрация (доля)	c (или w)	безразмерная (от 0 до 1)	c = m(в-ва) / m
Масса чистого вещества	m(в-ва)	кг или г	m(в-ва) = m · c

Пошаговый алгоритм решения через таблицу

Самый надёжный метод решения задач на растворы — составление таблицы из трёх колонок: «Масса раствора», «Концентрация», «Масса чистого вещества». Каждая строка таблицы соответствует отдельному раствору или сплаву, а последняя строка — итоговому составу. Заполнив первые две колонки по условию, третья колонка получается автоматически перемножением первой на вторую.

Уравнение составляется исключительно по последнему столбцу. Сумма масс чистого вещества в исходных растворах строго приравнивается к массе чистого вещества в итоговой смеси. Чтобы набить руку на заполнении таких таблиц, рекомендуем открыть практические модули в личном кабинете ученика, где собраны типовые формулировки экзаменационных задач.

Подробный разбор реальной задачи

Разберём классическую прототипную задачу: «Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» Поскольку плотность водных растворов принимается одинаковой, объёмы можно складывать точно так же, как массы.

Запишем математическую цепочку вычислений, следуя закону сохранения вещества:

1) V(итог) = 4 + 6 = 10 л — общий объём смеси.
2) V₁(в-ва) = 4 · 0,15 = 0,6 л — объём чистого вещества в 1-м растворе.
3) V₂(в-ва) = 6 · 0,25 = 1,5 л — объём чистого вещества во 2-м растворе.
4) V(итог в-ва) = 0,6 + 1,5 = 2,1 л — общее количество чистого вещества.
5) C(итог) = 2,110 = 0,21 → 0,21 · 100% = 21%.
Ответ: 21

Как видишь, при систематической записи нет необходимости держать громоздкие дроби в голове. Если в условии одна из величин неизвестна, мы просто обозначаем её через переменную x и решаем полученное линейное уравнение относительно x.

Типичные ошибки и подводные камни

Главная ошибка неопытных учеников — механическое сложение процентов: «15% + 25% = 40%» или вычисление простого среднего арифметического: «(15 + 25) / 2 = 20%». Среднее арифметическое концентраций работает только тогда, когда массы смешиваемых растворов строго равны. Если массы различаются, концентрация итоговой смеси всегда смещается в сторону раствора с большей массой (в нашем примере 6 литров перетянули баланс к 21%).

Второй частый просчёт — путаница между массой воды и массой всего раствора. Например, если в задаче сказано «добавили 5 кг воды к раствору», масса раствора увеличилась на 5 кг, но масса чистого вещества осталась неизменной.

Что запомнить для экзамена

Чтобы без труда получать максимальный балл за задачи на растворы и сплавы, держи в голове ключевой чек-лист:

1. Концентрацию в процентах сразу переводим в доли делением на 100.
2. Чистое вещество находим умножением: m(в-ва) = m(раствора) · c.
3. Чистая вода содержит 0% вещества, чистый металл или соль — 100%.
4. Уравнение всегда составляется по сумме масс чистого вещества.

Теория становится навыком только после самостоятельного решения. Сделай следующий шаг к высокому баллу: перейди на платформу «Просто Урок», зарегистрируйся и реши 5 тренировочных задач на растворы прямо сейчас.