Задание 19: установление последовательности

Что проверяет задание 19

Задание 19 часто отнимает время не из-за сложной формулы, а из-за неаккуратного чтения: нужно установить правильную последовательность чисел, выражений или членов последовательности. Ошибка в одном сравнении может стоить всего задания. Здесь ты научишься раскладывать условие на короткие шаги, сравнивать величины удобным способом и проверять ответ без угадывания.

В задачах встречаются арифметическая и геометрическая прогрессии, степени, корни, дроби, последовательности с заданной формулой общего члена. Иногда требуется расположить числа по возрастанию, иногда — по убыванию. Главное — понять, что именно сравнивается: сами значения, номера членов или результаты нескольких действий.

Перед решением подчеркни слова «по возрастанию» или «по убыванию». Затем выпиши все объекты в одной строке и обозначь их буквами. Такой простой шаг снижает риск перепутать порядок записи и порядок ответа. Если хочешь потренироваться на похожих форматах, используй бесплатную практику в личном кабинете.

Алгоритм установления порядка

Решай задание по следующей схеме. Сначала перепиши выражения без лишнего текста. Если в условии есть последовательность, найди общий член или вычисли нужные члены. Затем приведи сравниваемые величины к удобному виду: одинаковому знаменателю, общей степени или одной единице измерения.

Если числа положительные, можно сравнивать их квадраты или кубы, когда это упрощает вычисления. Например, вместо сравнения √7 и 2 достаточно заметить: 7 и 2² = 4, значит √7 > 2. Для дробей удобно использовать положительное перекрёстное умножение. Для степеней с одинаковым основанием сравнивай показатели.

После промежуточных сравнений составь цепочку знаков. Не записывай ответ сразу по памяти: отдельно проверь соседние элементы цепочки. Если требуется убывание, самый большой элемент должен стоять первым.

√7 > 2, потому что 7 > 2² = 4
\( ¾ = 0,75 \)
\( 2⅓ = 7⁄3 \)
1,2 < ¾ < 2⅓

Последовательности и прогрессии

Когда объекты являются членами арифметической прогрессии, используй формулу общего члена: aₙ = a₁ + d × (n − 1). Если разность d положительна, члены возрастают с ростом номера; если d отрицательна, убывают. При d = 0 все члены равны, поэтому порядок можно установить только после сравнения с другими выражениями.

Для геометрической прогрессии применяют формулу bₙ = b₁ × qⁿ⁻¹. Здесь знак и величина знаменателя q важнее самого номера. При положительном q > 1 положительные члены растут, а при 0 < q < 1 уменьшаются. Если q отрицательно, знаки членов чередуются, поэтому рассуждать только по номерам нельзя.

Вид	Что сравнить	Быстрый признак
Арифметическая	разность d	d > 0 — рост
Геометрическая	знаменатель q	0 < q < 1 — уменьшение положительных членов
Формула aₙ	несколько значений	подставить номера и упростить

Если формула содержит дробь или корень, вычисляй только нужные значения. Не трать время на доказательство общей монотонности, если в условии даны конкретные четыре объекта.

Разобранный пример

Рассмотрим типичную задачу. Расположи по возрастанию числа: ½, √2, 1,4 и 2³⁄². Сначала выбираем единый способ сравнения. Дробь ½ равна 0,5, а √2 находится между 1 и 2. Последнее число можно представить как √8, поскольку 2³⁄² = √(2³) = √8.

\( ½ = 0,5 \)
1,4² = 1,96, а 2 < 1,96 неверно, поэтому √2 ≈ 1,414 и √2 > 1,4
\( 2^3⁄^2 = \sqrt{8} \approx 2,828 \)
\( ½ < 1,4 < \sqrt{2} < 2^3⁄^2 \)
Ответ: ½, 1,4, √2, 2³⁄²

Обрати внимание на проверку сравнения 1,4 и √2. Мы возвели 1,4 в квадрат и получили 1,96, а 2 больше 1,96, значит √2 больше 1,4. Возводить в квадрат можно без изменения знака только для неотрицательных чисел. Если среди выражений есть отрицательные значения, сначала установи их знаки, а затем выбирай способ сравнения.

В личном кабинете можно решить пять тренировочных заданий и сразу проверить, на каком шаге появляется ошибка.

Типичные ошибки и проверка

Первая ошибка — перепутать направление порядка. Если написано «по убыванию», цепочка должна начинаться с наибольшего значения. Вторая — сравнивать только внешне похожие выражения: например, √12 и 3,2 нельзя оценивать по виду. Возведи оба положительных числа в квадрат: 12 и 10,24.

Третья ошибка связана с отрицательными степенями. Чем больше положительный показатель, тем больше число при основании больше единицы, но при основании от 0 до 1 зависимость обратная. Четвёртая — потеря скобок: −2² = −4, а (−2)² = 4. Запись должна быть точной.

Для быстрой проверки найди крайние элементы: действительно ли первый самый маленький или самый большой? Затем проверь только соседние пары. Если каждая соседняя пара стоит в нужном отношении, вся цепочка верна. При равенстве двух величин внимательно прочитай условие: иногда порядок между ними неважен, а иногда нужно показать равные значения рядом.

Что запомнить

Задание 19 решается не угадыванием, а последовательной проверкой. Определи направление порядка, выпиши сравниваемые величины, приведи их к общему виду и составь цепочку из соседних сравнений. Для прогрессий сначала оцени разность или знаменатель, для корней и степеней используй безопасное возведение в квадрат, а для дробей — общий знаменатель или перекрёстное умножение.

Перед сдачей ответа проверь знаки, скобки и крайние элементы. Не округляй без необходимости: точная запись надёжнее приближённой. Следующий шаг — зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно, фиксируя не только ответ, но и способ сравнения. Для общего повторения экзамена также пригодятся материалы по ЕГЭ и ОГЭ.