Задание 21 ЕГЭ по математике (база): как решать

Что это за задание

Задание 21 стоит в конце варианта и отличается от всех предыдущих: у него нет шаблонного алгоритма. Как и любое задание базового ЕГЭ, оно приносит один первичный балл, но именно на нём чаще всего «зависают» даже сильные ученики — не потому, что оно трудное, а потому, что оно незнакомое.

По смыслу это задачи на анализ числовых данных: нужно подобрать числа под набором условий, оценить наибольшее или наименьшее значение через неравенство либо сделать логический вывод. Формулировки разнообразные: подъезды и этажи, викторины со штрафными баллами, букеты с нечётным числом цветов, обмен монет, таблицы с ограничениями.

Хорошая новость: сложной теории здесь нет. Нужны арифметика, разложение на множители, умение составить простое уравнение и — главное — привычка перебирать варианты по системе и проверять каждый ответ. Ответом всегда служит целое число, и это само по себе подсказка: если получилось дробное — где-то ошибка.

Подбор чисел: перебор с умом

Многие задачи 21 решаются не формулой, а организованным перебором. Хаотично пробовать числа бесполезно — долго и без гарантий. Перебор нужен структурированный: итоговое число раскладывают на множители, а условия задачи используют как фильтр, который отсеивает лишние варианты.

подъезды · этажи · квартиры на этаже = всего квартир

Разберём классический пример.

1. Условие: во всех подъездах дома одинаковое число этажей, на всех этажах одинаковое число квартир. Число этажей больше числа квартир на этаже, квартир на этаже больше числа подъездов, а подъездов больше одного. Сколько этажей в доме, если всего в нём 110 квартир?
2. Записываем главную связь: подъезды · этажи · квартиры = 110.
3. Раскладываем 110 на простые множители: 110 = 2 · 5 · 11.
4. Подбираем роли под условие «этажи > квартиры > подъезды > 1»: подъездов — 2, квартир на этаже — 5, этажей — 11.
5. Проверка: 2 · 5 · 11 = 110, все неравенства выполнены. Ответ: 11.

Перебор здесь короткий, потому что множителей всего три. Именно так и устроены подобные задачи: числа подобраны так, что при аккуратном разложении ответ находится за несколько шагов. Сомневаешься в делимости — повтори признаки делимости на 2, 3, 5 и 10, их достаточно для большинства вариантов.

Уравнение и проверка на целое

В задачах про баллы, деньги и «головы и ноги» выручает уравнение. Отличие от обычных текстовых задач в том, что здесь ответ обязан получиться целым и осмысленным — это встроенная самопроверка, которой стоит пользоваться сознательно.

1. Условие: в викторине 20 вопросов. За верный ответ дают 5 баллов, за неверный снимают 3 балла. Участник ответил на все вопросы и набрал 44 балла. Сколько ответов было верными?
2. Пусть p — верные ответы, w — неверные. Тогда p + w = 20.
3. Считаем баллы: 5p − 3w = 44.
4. Подставляем w = 20 − p: 5p − 3(20 − p) = 44, отсюда 8p = 104 и p = 13.
5. Проверка: 13 · 5 − 7 · 3 = 65 − 21 = 44. Ответ: 13 верных ответов.

Обрати внимание на последний шаг: подстановка занимает десять секунд, а на экзамене спасает балл. В задачах на смекалку проверка — не формальность, а часть метода.

Оценка и неравенства: наибольшее и наименьшее

Когда в формулировке звучит «наибольшее» или «наименьшее» число при ограничениях, работает оценка через неравенство: сначала грубо ограничиваем значение, потом уточняем по дополнительным условиям. Здесь же прячется самая частая ловушка задания — округление.

1. Условие: букет должен состоять из нечётного числа цветов. Тюльпан стоит 45 рублей, у Вани есть 600 рублей. Из какого наибольшего числа тюльпанов он может купить букет?
2. Граница по деньгам: 45n ≤ 600, значит n ≤ 13,3….
3. Наибольшее целое n = 13.
4. Проверяем дополнительные условия: 13 — нечётное число, и 45 · 13 = 585 ≤ 600. Ответ: 13.

Коварство в деталях: если бы условие требовало чётное число цветов, ответом было бы 12. Слово «наибольшее» почти всегда означает «округляем вниз», а «наименьшее» — «округляем вверх». Но любое округление нужно перепроверить всеми условиями задачи.

Логика и здравый смысл

Третья группа задач проверяет умение делать выводы из условий. Здесь почти нет вычислений, зато нужно рассуждать о крайних случаях: что будет, если всех «плохих» объектов собрать по максимуму? сколько минимум нужно, чтобы гарантированно выполнялось условие? Такие задачи решаются короткой цепочкой неравенств или простым рассуждением «от противного».

Полезная привычка — прикидка здравым смыслом. Ответ «в доме 137 этажей» или «участник дал 19 верных ответов из 20 и потерял баллы» должен вызывать сомнение ещё до всякой проверки. Если результат противоречит жизни, перечитай условие — скорее всего, пропущено ограничение.

Эти три приёма — подбор, уравнение с проверкой, оценка через неравенство — закрывают практически всё разнообразие задания 21. Чтобы уверенно работать с неравенствами, пригодится статья про числовые неравенства и промежутки, а фундамент по числам и вычислениям можно освежить в разборе задания 1 базового ЕГЭ. Общий план подготовки есть в статье про ЕГЭ по математике: структура и план подготовки.

И помни: задание 21 не требует таланта — только системы. Организованный перебор, уравнение, проверка на целое и внимание к каждому условию превращают самую «страшную» задачу варианта в обычную работу на несколько минут. А потренировать всё это в формате экзамена можно в тренажёре ЕГЭ на Просто Урок.