Движение тела, брошенного вверх

Что происходит с телом, брошенным вверх

Задачи на вертикальный бросок часто кажутся простыми: тело летит вверх, останавливается и возвращается вниз. Но именно здесь легко потерять знак ускорения, перепутать время подъёма с полным временем полёта или забыть перевести километры в метры. Разберём движение так, чтобы ты мог уверенно составлять решение и проверять ответ. После статьи будет проще перейти к бесплатной практике в личном кабинете и закрепить навык на похожих заданиях.

Рассматриваем движение у поверхности Земли, сопротивлением воздуха пренебрегаем. После броска на тело действует сила тяжести, поэтому ускорение направлено вниз и равно g ≈ 10 м/с². Если ось направить вверх, то ускорение записывают как a = −g. Начальная скорость направлена вверх и считается положительной: v₀ > 0.

Главная идея: скорость постепенно уменьшается, в верхней точке становится равной нулю, а затем меняет знак. Координата при этом сначала растёт, достигает максимума и начинает уменьшаться.

Основные формулы и знаки

Выбери начало координат там, где тело покинуло руку, и направь положительную ось вверх. Тогда координата, скорость и ускорение описываются формулами:

\( v = v_0 - gt \)
\( y = v_0t - g\dfrac{t^2}{2} \)
\( v^2 = v_0^2 - 2gy \)

Здесь v и v₀ — скорость в м/с, t — время в секундах, y — перемещение в метрах, g — ускорение свободного падения в м/с². Если начальная координата не равна нулю, вместо y используют координату x: x = x₀ + v₀t − gt² / 2.

В верхней точке v = 0. Поэтому время подъёма tₚ = v₀ / g, а максимальная высота над точкой броска hₘₐₓ = v₀² / (2g). Если тело возвращается на тот же уровень, время всего полёта равно T = 2v₀ / g, а модуль скорости при возвращении совпадает с начальным: |v| = v₀.

Время подъёма и максимальная высота

Чтобы найти момент достижения верхней точки, используй условие v = 0. Не подставляй в формулу высоты время полёта, если спрашивают именно подъём: тело проводит одинаковое время на подъёме и спуске только при возвращении на исходный уровень.

Пример
\( v_0 = 20 \text{м/с}, g = 10 \text{\text{м/с}}^2 \)
tₚ = v₀ / g = 20 / 10 = 2 с
hₘₐₓ = v₀² / (2g) = 20² / (2 × 10) = 20 м

Через 2 секунды скорость станет нулевой, но это не означает, что движение прекратилось навсегда. В верхней точке ускорение по-прежнему равно 10 м/с² вниз. Сразу после неё тело начинает падать, и скорость становится отрицательной относительно выбранной оси.

Полезная проверка: при одинаковом уровне старта и финиша путь вверх равен пути вниз по высоте, а время подъёма равно времени спуска. Однако знак скорости при возвращении отрицательный, потому что направление движения противоположно положительной оси.

Типовая задача: разбор по шагам

Условие: мяч бросили вертикально вверх со скоростью 30 м/с. Найди максимальную высоту, время подъёма и скорость через 4 секунды. Сопротивлением воздуха пренебречь, g = 10 м/с².

Дано: v₀ = 30 м/с, g = 10 м/с², t = 4 с
Найти: hₘₐₓ, tₚ, v(4)
Решение:
tₚ = v₀ / g = 30 / 10 = 3 с
hₘₐₓ = v₀² / (2g) = 30² / 20 = 45 м
\( v(4) = v_0 - gt = 30 - 10 \times 4 = -10 \text{м/с} \)
Ответ: hₘₐₓ = 45 м, tₚ = 3 с, v(4) = −10 м/с

Отрицательная скорость показывает, что через 4 секунды мяч уже движется вниз. Если требуется именно быстрота, а не скорость, укажи модуль: 10 м/с. Проверяй, соответствует ли найденный момент времени этапу движения: 4 секунды больше 3 секунд подъёма, значит спуск действительно начался.

Больше задач с таким форматом можно решить в бесплатной практике, где удобно сразу сверять ход решения, а не только конечное число.

Как не ошибиться на ЕГЭ и ОГЭ

Что спрашивают	Условие или формула	Что проверить
Время подъёма	v = 0, tₚ = v₀ / g	Единица измерения — с
Максимальную высоту	hₘₐₓ = v₀² / (2g)	Ответ — в м
Скорость в момент t	v = v₀ − gt	Знак показывает направление
Полное время полёта	T = 2v₀ / g	Тело возвращается на исходный уровень

Перед решением переводи все величины в СИ: километры в час — в метры в секунду, минуты — в секунды. Для перевода скорости умножай значение в км/ч на 5/18. Не округляй промежуточные результаты без необходимости.

Если бросок происходит с высоты над землёй, формула полного времени уже не равна 2v₀ / g. Сначала запиши координату земли и реши квадратное уравнение для момента встречи.

Что запомнить

Тело, брошенное вверх, движется с постоянным ускорением, направленным вниз. При оси вверх: a = −g, v = v₀ − gt, y = v₀t − gt² / 2. В верхней точке v = 0, поэтому tₚ = v₀ / g, а максимальная высота над местом броска равна v₀² / (2g). При возвращении на тот же уровень полное время составляет 2v₀ / g.

Главный алгоритм такой: выбери ось, запиши знаки, переведи единицы в СИ, определи нужный этап движения и только потом подставляй числа. Обязательно оцени ответ: время не может быть отрицательным, высота — иметь единицу м, а скорость после верхней точки должна быть направлена вниз.

Закрепи тему практикой: зарегистрируйся в личном кабинете и реши 5 заданий бесплатно. Если нужно повторить соседние разделы механики, материалы доступны в разделах ЕГЭ и ОГЭ.