Электростатика — разбор для ЕГЭ

Закон Кулона и точечные заряды

Привет! Электростатика изучает взаимодействие неподвижных электрических зарядов. В кодификаторе ЕГЭ это фундаментальный раздел, на котором строятся более сложные темы электродинамики.

Главный закон здесь — закон Кулона. Он определяет модуль силы взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов в вакууме или воздухе:

F = k · (|q₁| · |q₂|) / r²,

где q₁ и q₂ — величины зарядов (в кулонах, Кл), r — расстояние между ними (в метрах, м), а коэффициент пропорциональности k ≈ 9 · 10⁹ Н·м²/Кл². Если заряды находятся в диэлектрической среде с проницаемостью ε, сила взаимодействия уменьшается в ε раз: F = k · (|q₁| · |q₂|) / (ε · r²).

По третьему закону Ньютона силы взаимодействия равны по модулю и противоположны по направлению. Они действуют вдоль прямой, соединяющей центры зарядов (прямо как силы тяготения в нашей статье про законы Ньютона в динамике). Одноимённые заряды отталкиваются, а разноимённые — притягиваются. Также помни закон сохранения заряда: в электрически изолированной системе суммарный заряд остаётся неизменным (q₁ + q₂ + ... = const).

Напряжённость и принцип суперпозиции

Электрическое поле создаётся зарядами и передаёт их силовое воздействие. Главная силовая характеристика поля — напряжённость E. Это векторная величина, равная отношению силы к величине внесённого пробного положительного заряда q₀:

E = F / q₀ (измеряется в Н/Кл или В/м).

Для точечного заряда модуль напряжённости на расстоянии r равен:

E = k · |q| / r².

Вектор напряжённости всегда направлен от положительного заряда («источник линий») и к отрицательному («сток линий»). Если поле создано сразу несколькими зарядами, результирующее поле находится по принципу суперпозиции:

E = E₁ + E₂ + ... + Eₙ.

Это векторное сложение: складывай векторы по правилу параллелограмма или через проекции на оси координат. В однородном поле напряжённость постоянна во всех точках, поэтому заряженная частица массы m движется в нём с постоянным ускорением a = q · E / m, что рассчитывается по формулам из кинематики движения и графиков.

Потенциал, напряжение и работа поля

Кроме силовой характеристики, поле обладает энергетической — потенциалом φ. Это скалярная величина, численно равная потенциальной энергии единичного положительного заряда в данной точке:

φ = W / q₀ (измеряется в вольтах, В).

Потенциал поля точечного заряда вычисляется с учётом знака заряда: φ = k · q / r. При перемещении заряда q из точки с потенциалом φ₁ в точку с потенциалом φ₂ электростатическое поле совершает работу:

A = q · (φ₁ − φ₂) = q · U,

где U = φ₁ − φ₂ — разность потенциалов (напряжение). Работа поля не зависит от траектории движения, а зависит только от начального и конечного положений заряда. Поле с таким свойством называют потенциальным.

В однородном электрическом поле связь между напряжённостью и напряжением выражается формулой:

U = E · d,

где d — расстояние между эквипотенциальными поверхностями вдоль линий напряжённости.

Сравнение характеристик электростатики

Чтобы не путать векторные и скалярные величины на экзамене, удобно свести их в общую таблицу характеристик:

Величина	Формула	Тип величины	Единица (СИ)
Сила Кулона (F)	F = k · |q₁ · q₂| / r²	Векторная (силовая)	Н (ньютон)
Напряжённость (E)	E = F / q = k · |q| / r²	Векторная (силовая)	В/м или Н/Кл
Потенциал (φ)	φ = W / q = k · q / r	Скалярная (энергетическая)	В (вольт)
Энергия системы (W)	W = q · φ = k · q₁ · q₂ / r	Скалярная (энергетическая)	Дж (джоуль)
Напряжение (U)	U = φ₁ − φ₂ = E · d	Скалярная (энергетическая)	В (вольт)

Плоский конденсатор и энергия поля

Конденсатор — это система из двух проводников, разделённых диэлектриком, предназначенная для накопления заряда и энергии электрического поля. Основная характеристика — электроёмкость C:

C = q / U (измеряется в фарадах, Ф).

Ёмкость плоского конденсатора определяется его геометрией и материалом диэлектрика:

C = (ε · ε₀ · S) / d,

где ε — диэлектрическая проницаемость среды, ε₀ ≈ 8,85 · 10⁻¹² Ф/м — электрическая постоянная, S — площадь одной пластины (м²), d — расстояние между пластинами (м).

Энергия электрического поля заряженного конденсатора вычисляется по одной из трёх эквивалентных формул:

W = (C · U²) / 2 = (q · U) / 2 = q² / (2 · C).

В задачах ЕГЭ важно различать два режима: если конденсатор подключён к источнику, постоянным остаётся напряжение (U = const); если конденсатор отключён от источника, постоянным сохраняется заряд обкладок (q = const).

Решение задачи и выводы

Разберём типовую задачу на изменение параметров конденсатора, в которой проверяют понимание энергетических связей.

Дано:
C₁ = 50 пФ = 50 · 10⁻¹² Ф
\( U_1 = 300 \text{В} \)
\( d_2 = 3 \cdot d_1 \)
A_внеш — ?

Решение:
1) Конденсатор зарядили и отключили от источника питания, следовательно, заряд сохраняется: q = const.
q = C₁ · U₁ = 50 · 10⁻¹² Ф · 300 В = 15 · 10⁻⁹ Кл = 15 нКл.
2) Ёмкость плоского конденсатора обратно пропорциональна расстоянию: C = (ε · ε₀ · S) / d.
При увеличении расстояния в 3 раза ёмкость уменьшается в 3 раза: C₂ = C₁ / 3.
3) Начальная и конечная энергия конденсатора:
W₁ = q² / (2 · C₁) = (15 · 10⁻⁹)² / (2 · 50 · 10⁻¹²) = 2,25 · 10⁻⁶ Дж = 2,25 мкДж.
W₂ = q² / (2 · C₂) = q² / (2 · (C₁ / 3)) = 3 · W₁ = 3 · 2,25 мкДж = 6,75 мкДж.
4) Работа внешних сил равна изменению энергии системы:
A_внеш = W₂ − W₁ = 6,75 · 10⁻⁶ Дж − 2,25 · 10⁻⁶ Дж = 4,5 · 10⁻⁶ Дж = 4,5 мкДж.

Ответ: 4,5 мкДж (или 4,5 · 10⁻⁶ Дж).

Что запомнить по разделу:

1. Сила Кулона и напряжённость — векторы, для которых обязателен принцип суперпозиции (геометрическое сложение).
2. Потенциал и энергия — скаляры, знаки зарядов в формулы подставляются с учётом плюса и минуса.
3. Работа сил электростатического поля не зависит от формы траектории и равна A = q · (φ₁ − φ₂).
4. При работе с конденсатором сразу фиксируй условие: подключён к источнику (U = const) или отключён (q = const).