Просто УрокФормулы площадей и объёмов: сводная таблица
Если «Формулы площадей и объёмов: сводная таблица» кажется тёмным лесом — это нормально: тема собрана из нескольких простых идей. Покажем их по порядку, разберём пример и предупредим о ловушках.
Как быстро выбрать нужную формулу
На контрольной теряется время не из-за сложных вычислений, а потому что непонятно, какую формулу взять первой. Эта шпаргалка поможет увидеть связь между фигурой, её данными и нужным результатом.
Сначала определи, что требуется найти: площадь, объём, радиус, высоту или сторону. Затем выпиши известные величины и проверь единицы измерения. Площадь измеряется в квадратных единицах: см², м². Объём — в кубических: см³, м³.
Площадь → сколько места занимает фигура на плоскости
Объём → сколько места занимает тело в пространстве
Периметр → длина границы фигуры
Если в условии есть основание и высота, чаще всего нужна формула площади треугольника или параллелограмма. Если даны радиус или диаметр, ищи формулу круга, цилиндра или шара. Диаметр в два раза больше радиуса: d = 2r.
Перед подстановкой нарисуй фигуру и подпиши на ней известные стороны. Такой рисунок часто сразу показывает нужную высоту или радиус.
Площади плоских фигур без лишних шагов
Площадь прямоугольника находят умножением длины на ширину. У квадрата стороны равны, поэтому достаточно возвести сторону в квадрат. Не путай площадь с периметром: периметр складывает длины сторон, а площадь перемножает измерения.
\( S = ab \)
S — площадь прямоугольника; a — длина; b — ширина.
\( S = a^2 \)
S — площадь квадрата; a — сторона квадрата.
\( S = ah \)
S — площадь параллелограмма; a — основание; h — высота, проведённая к этому основанию.
\( S = ah \div 2 \)
S — площадь треугольника; a — основание; h — высота к основанию.
\( S = (a + b)h \div 2 \)
S — площадь трапеции; a и b — основания; h — высота.
У треугольника высота должна быть перпендикулярна основанию. Наклонная боковая сторона не заменяет высоту. В задачах с трапецией сначала складывай основания, а не боковые стороны.
Для бесплатной практики можно открыть личный кабинет Просто Урок и сразу проверить несколько похожих примеров.
Круг и окружность: что считать по радиусу
Окружность — это граница круга, а круг — вся область внутри неё. Поэтому длина окружности и площадь круга имеют разные формулы. Число π обычно округляют до 3,14, если другое значение не указано в условии.
\( L = 2\pi r \)
L — длина окружности; π — число пи; r — радиус.
\( L = \pi d \)
L — длина окружности; π — число пи; d — диаметр.
\( S = \pi r^2 \)
S — площадь круга; π — число пи; r — радиус.
\( r = d \div 2 \)
r — радиус; d — диаметр.
Если известен диаметр, для площади сначала раздели его на два. Типичная ошибка — подставить диаметр вместо радиуса в S = πr². Ещё одна ошибка — забыть квадрат у радиуса: число должно умножаться само на себя.
| Дано | Что найти | Формула |
|---|---|---|
| Радиус r | Длину окружности | L = 2πr |
| Диаметр d | Длину окружности | L = πd |
| Радиус r | Площадь круга | S = πr² |
Приближённый ответ записывай со знаком ≈, если использовал π ≈ 3,14.
Объёмы тел: работаем с основанием и высотой
У многих тел объём можно представить как площадь основания, умноженную на высоту. Поэтому полезно сначала найти S₀ — площадь основания, а затем подставить её в формулу объёма.
\( V = abc \)
V — объём прямоугольного параллелепипеда; a, b, c — его длина, ширина и высота.
\( V = a^3 \)
V — объём куба; a — ребро куба.
\( V = S_0h \)
V — объём призмы или цилиндра; S₀ — площадь основания; h — высота.
\( V = S_0h \div 3 \)
V — объём пирамиды или конуса; S₀ — площадь основания; h — высота.
\( V = 4\pi r^3 \div 3 \)
V — объём шара; π — число пи; r — радиус шара.
Например, для цилиндра с круглым основанием сначала вычисляют S₀ = πr², затем умножают на высоту. Не смешивай радиус шара с диаметром и не забывай, что объём имеет кубические единицы.
В личном кабинете Просто Урок удобно потренировать именно такие задачи: от площади основания к объёму.
Поверхность тел и практические задачи
Полная площадь поверхности показывает, сколько материала нужно, чтобы покрыть тело со всех сторон. В задачах про коробку, упаковку или покраску стен важно понять, какие грани входят в расчёт: все или только видимые.
\( S_{\text{полн}} = 2(ab + bc + ac) \)
Sполн — полная площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда; a, b, c — его измерения.
\( S_{\text{полн}} = 6a^2 \)
Sполн — полная площадь поверхности куба; a — ребро куба.
\( S_{\text{бок}} = Ph \)
Sбок — боковая поверхность призмы или цилиндра; P — периметр основания; h — высота.
Sбок цилиндра = 2πrh
Sбок цилиндра — площадь боковой поверхности; π — число пи; r — радиус основания; h — высота.
\( S_{\text{сферы}} = 4\pi r^2 \)
Sсферы — площадь поверхности шара; π — число пи; r — радиус.
Если коробка открыта сверху, площадь крышки не включают. Если нужно оклеить только боковые стенки, ищут боковую, а не полную поверхность. Ответ разумно оценить: площадь не может быть отрицательной, а объём маленькой коробки не должен получиться в квадратных сантиметрах.
Не сокращай единицы механически. Если длины переведены из сантиметров в метры, все измерения нужно привести к одной системе до вычисления.
Что запомнить перед самостоятельной работой
Для прямоугольника запомни S = ab, для треугольника S = ah ÷ 2, для круга S = πr². Объём призмы и цилиндра считают через основание: V = S₀h. Для пирамиды и конуса появляется деление на три.
Площадь → квадратные единицы: см², м²
Объём → кубические единицы: см³, м³
Диаметр → d = 2r
Радиус → r = d ÷ 2
Главная проверка решения: нарисуй фигуру, выпиши обозначения, приведи единицы и только потом подставляй числа. В конце проверь, соответствует ли единица измерения найденной величине.
Следующий шаг простой: зарегистрируйся в бесплатном личном кабинете Просто Урок и реши 5 заданий по теме. После пяти примеров формулы легче узнаются в новом условии, а ошибки становятся заметнее.
Не пытайся выучить всю таблицу за один раз. Возьми сначала площади плоских фигур, затем круг, после этого объёмы. Так правила связываются с рисунками, а не превращаются в набор случайных символов.
Частые вопросы
Как закрепить тему после разбора?
Открой бесплатный личный кабинет Просто Урок и воспользуйся тренажёром. Решай задания от простых к смешанным и после каждого ответа сверяй не только число, но и единицы измерения.
Чем площадь отличается от объёма?
Площадь описывает поверхность или область на плоскости и измеряется в квадратных единицах. Объём показывает вместимость тела и измеряется в кубических единицах.
Что делать, если дан диаметр?
Для формулы площади круга или объёма шара сначала найди радиус: r = d ÷ 2. Для длины окружности можно сразу использовать формулу L = πd.
Почему в объёме цилиндра сначала считают основание?
Основание цилиндра является кругом, поэтому сначала находят S₀ = πr², а затем умножают эту площадь на высоту: V = S₀h.
Проверь себя на реальных заданиях
После такого разбора решите 5–7 заданий подряд — и тема ваша. Тренажёр Просто Урок подберёт их автоматически, ошибки объяснит по шагам. Бесплатно, в браузере.