Как решать задачи на проценты и сплавы на ОГЭ

1. Проценты: начинаем с целого

Задачи на проценты часто кажутся запутанными из-за слов «увеличили», «снизили» и «составляет». На ОГЭ важно не угадывать действие, а видеть, что является целым, частью и процентной долей. Разберём понятный алгоритм, научимся записывать решение по шагам и проверять ответ. Если десятичные записи пока вызывают сомнения, повтори материал в статье о десятичных дробях.

Процент — это сотая часть числа. Чтобы найти p процентов от величины a, переведи проценты в дробь и умножь: a · p ÷ 100. Если известна часть b и нужно найти целое, используй b · 100 ÷ p. Когда величина увеличивается на p процентов, новый результат равен старому · (1 + p ÷ 100), а при уменьшении — старому · (1 − p ÷ 100).

Найти 15% от 240:
240 · 15 ÷ 100 = 36
Ответ: 36.

Проверь смысл: 15% меньше половины, поэтому 36 подходит. Типичная ошибка — принять 15 за множитель вместо 0,15 или найти процент от уже изменённого числа, хотя в условии нужен первоначальный результат.

2. Как находить неизвестное по процентам

Вторая распространённая модель: известно, что одна величина составляет несколько процентов от другой. Сначала выдели фразу «что от чего». Если 48 — это 20% некоторого числа x, составь равенство 0,2x = 48. Затем раздели обе части на 0,2 или умножь 48 на 100 и раздели на 20. Такой способ удобен и для текстовых задач, и для проверки ответа.

48 составляет 20% числа x:
x · 20 ÷ 100 = 48
x = 48 · 100 ÷ 20 = 240
Проверка: 240 · 20 ÷ 100 = 48.

Если цену сначала повысили на 10%, а потом снизили на 10%, она не вернулась к исходной: действия выполняются последовательно, а вторые 10% считаются уже от новой цены. Для дополнительной тренировки можно открыть повторение задания 14 ОГЭ.

Типичная ошибка — складывать проценты при последовательных изменениях. Сначала найди новый результат, затем применяй второе изменение именно к нему.

3. Задачи на сплавы: масса вещества

В задачах на сплавы главное — отличать массу всего сплава от массы чистого металла. Процент металла называют концентрацией. Если масса сплава равна m, а концентрация — p процентов, масса металла находится так: m · p ÷ 100. Масса примеси равна массе сплава минус масса металла. При смешивании двух сплавов количество чистого металла складывается.

В 200 г сплава 30% меди:
200 · 30 ÷ 100 = 60 г меди
200 − 60 = 140 г примеси.

Если смешали 200 г сплава с 30% меди и 100 г сплава с 60%, меди будет 60 + 60 = 120 г, а общая масса — 300 г. Ошибка — усреднять концентрации без учёта масс: у большего по массе сплава влияние сильнее. Воспользуйся бесплатной практикой в личном кабинете, чтобы закрепить именно такие модели.

4. Полный разбор задачи на сплавы

Рассмотрим типичное условие: смешали 300 г сплава с 20% меди и 200 г сплава с 50% меди. Найти процент меди в получившемся сплаве. Сначала не складывай проценты. Найди массу меди в каждом исходном сплаве, затем общую массу меди и только после этого раздели её на массу всей смеси.

Меди в первом сплаве:
300 · 20 ÷ 100 = 60 г
Меди во втором сплаве:
200 · 50 ÷ 100 = 100 г
Всего меди: 60 + 100 = 160 г
Масса смеси: 300 + 200 = 500 г
Концентрация: 160 · 100 ÷ 500 = 32%
Ответ: 32%.

Проверка: 32% находится между 20% и 50%, значит результат выглядит разумно. При этом он ближе к 20%, потому что первого сплава больше. Типичная ошибка — написать 35%, среднее арифметическое двух процентов, не учитывая разные массы.

5. Уравнение и проверка результата

Если неизвестна масса одного из компонентов, удобно обозначить её x. Например, к 400 г сплава с 25% меди добавили x г чистой меди и получили сплав с концентрацией 40%. Масса меди до добавления равна 100 г, после добавления — 100 + x, а масса нового сплава — 400 + x. Поэтому составь отношение массы меди к общей массе.

100 + x = 0,4 · (400 + x)
100 + x = 160 + 0,4x
0,6x = 60
x = 100 г.

Проверка: меди стало 200 г, общая масса 500 г, 200 · 100 ÷ 500 = 40%. Ответ подходит. Обрати внимание: чистая медь имеет концентрацию 100%, поэтому она увеличивает долю металла, но одновременно увеличивает и общую массу.

Типичная ошибка — записать 100 + x = 0,4 · 400, забыв, что после добавления изменилась масса всего сплава. Если сомневаешься, составь две строки: «масса металла» и «масса смеси». Для спокойной самостоятельной работы используй личный кабинет с бесплатными заданиями.

6. Что запомнить перед ОГЭ

Алгоритм можно свести к четырём вопросам. Что является целым? Какова его масса? Сколько чистого вещества содержится в каждом компоненте? Какую величину требует найти условие? Для процентов переводи p% в p ÷ 100. Для сплавов сначала находи массу чистого металла, затем складывай такие массы и только потом вычисляй концентрацию.

Концентрация смеси:
масса чистого металла · 100 ÷ масса всей смеси
Масса чистого металла:
масса сплава · концентрация ÷ 100.

Быстрая проверка: концентрация смеси не может быть меньше меньшей или больше большей концентрации исходных сплавов, если не добавляли чистый металл или примесь отдельно. Ответ всегда сопровождай единицами: граммы, килограммы или проценты.

Типичная ошибка — потерять единицы и перепутать массу вещества с массой раствора или сплава. Зарегистрируйся и реши 5 заданий бесплатно: так ты увидишь, какая модель требует ещё одной тренировки.