ОГЭ: повторение задания 24–25

Специфика заданий 24 и 25: за что дают максимум баллов

Многие девятиклассники уверенно набирают баллы на первой части экзамена, но испытывают трудности перед сложной геометрией во второй части ОГЭ. Задания 24 и 25 традиционно замыкают экзаменационную работу: здесь проверяется не шаблонное применение формул, а умение глубоко анализировать чертёж, находить скрытые связи между фигурами и оформлять строгое математическое доказательство. Если ты уже освоил задания 22 и 23 ОГЭ, самое время перейти к вершине геометрического блока, которая способна принести сразу 4 первичных балла к общему результату.

Задание 24 ориентировано на классическое доказательство равенства треугольников, подобия, параллельности прямых или свойств вписанных и описанных окружностей. Задание 25 представляет собой комбинированную задачу повышенной сложности олимпиадного типа, где чаще всего требуется провести вспомогательные построения, связать несколько теорем и выполнить многоступенчатый расчёт. Эксперты оценивают каждое из этих заданий максимум в 2 первичных балла. Главный критерий получения высшей оценки — логическая безупречность рассуждений и полное математическое обоснование каждого шага.

Задание 24: ключевые идеи для геометрических доказательств

Успешное решение двадцать четвёртого номера строится вокруг ограниченного набора фундаментальных геометрических конструкций. Чаще всего составители ОГЭ проверяют понимание свойств углов в окружности, признаков подобия треугольников и свойств параллелограммов, трапеций и вписанных четырёхугольников.

Чтобы быстро найти ключ к доказательству, в первую очередь обращай внимание на следующие опорные факты:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу или равные дуги, равны между собой. Этот факт позволяет мгновенно находить равные углы внутри окружности без дополнительных расчётов.

2. Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними, то есть равен любому вписанному углу, опирающемуся на эту же дугу.

3. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180° или когда отрезок виден из двух вершин под одинаковым углом.

4. Признаки подобия треугольников (особенно по двум равным углам) работают в подавляющем большинстве задач, где секущие или хорды пересекаются внутри либо вне окружности.

Задание 25: методы решения сложной геометрии

Задание 25 требует гибкого мышления и владения специальными приёмами. Здесь редко удаётся решить задачу «в лоб» с помощью одной теоремы. Основными инструментами решения двадцать пятого номера служат метод площадей, метод удвоения медианы, проведение высот и параллельных прямых, а также поиск вспомогательной окружности.

Чтобы понять различия в структуре и требованиях к обоим геометрическим номерам, полезно сравнить их основные характеристики:

Параметр	Задание 24	Задание 25
Тип задачи	Доказательство утверждения	Вычисление длины / площади / отношения
Максимальный балл	2 балла	2 балла
Сложность конструкции	Базовая или средняя (1–2 шага)	Высокая (3–5 связанных шагов)
Дополнительные построения	Требуются редко	Требуются в большинстве задач
Ключевой приём	Признаки подобия и равенства	Метод площадей, подобие, тригонометрия

Чтобы научиться быстро распознавать нужные приёмы на экзамене, используй систематические тренировки: регулярная практика в личном кабинете платформы «Просто Урок» помогает отработать сложные конфигурации на интерактивных тренажёрах с подсказками преподавателей.

Пошаговый разбор практической задачи

Рассмотрим классическую задачу на метод площадей и подобие треугольников, которая часто встречается в прототипах заданий повышенного уровня сложности.

Условие: В трапеции ABCD с основаниями BC и AD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Площадь треугольника BOC равна 4 см², а площадь треугольника AOD равна 16 см². Найдите общую площадь трапеции ABCD.

1. Рассмотрим треугольники BOC и DOA:
∠BCO = ∠DAO как накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.
∠CBO = ∠ADO как накрест лежащие при BC || AD и секущей BD.
Следовательно, △BOC ~ △DOA по двум углам.

2. Из подобия треугольников следует отношение площадей:
S(BOC) / S(DOA) = k² = 4 / 16 = 1/4 ⇒ коэффициент подобия k = 1/2.
Значит, отношение сторон: BC / AD = BO / OD = CO / AO = 1/2 ⇒ AO = 2 · CO, OD = 2 · BO.

3. Рассмотрим треугольники ABO и BOC:
Они имеют общую высоту, опущенную из вершины B на прямую AC.
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению оснований:
\( S\dfrac{ABO}{S}(BOC) = A\dfrac{O}{C}O = \dfrac{2}{1} = 2. \)
Отсюда: S(ABO) = 2 · S(BOC) = 2 · 4 = 8 см².

4. Рассмотрим треугольники CDO и AOD:
Они имеют общую высоту из вершины D на прямую AC.
\( S\dfrac{CDO}{S}(AOD) = C\dfrac{O}{A}O = \dfrac{1}{2}. \)
Отсюда: S(CDO) = (1/2) · S(AOD) = (1/2) · 16 = 8 см².

5. Вычисляем полную площадь трапеции ABCD как сумму площадей четырех непересекающихся треугольников:
\( S(ABCD) = S(BOC) + S(DOA) + S(ABO) + S(CDO) = 4 + 16 + 8 + 8 = 36 \text{\text{см}}^2. \)
Ответ: 36.

Типичные ошибки и критерии экспертной проверки

При проверке заданий 24 и 25 эксперты предметной комиссии ОГЭ руководствуются строгими критериями. Даже при верном числовом ответе ты рискуешь потерять баллы из-за пробелов в оформлении. Точно так же, как и при оформлении алгебраического задания 21 ОГЭ, неполная аргументация карается снижением оценки.

Распространённые ошибки выпускников включают:

— Использование подобия треугольников без указания признака и равенства конкретных углов.

— Применение теорем без проверки условий их применимости (например, теоремы синусов или косинусов для произвольного треугольника с ошибочными углами).

— Отсутствие описания введённых дополнительных построений (если проведена прямая или высота, необходимо явно указать: «Проведём высоту BH ⊥ AD»).

Что запомнить перед экзаменом

Чтобы гарантированно справиться с геометрией второй части на ОГЭ, придерживайся чёткого плана подготовки: выучи все базовые свойства касательных, хорд и углов в окружности, уверенно применяй метод площадей и признаки подобия. В задании 24 всегда подробно обосновывай каждый переход ссылками на теоремы. В задании 25 не бойся экспериментировать с дополнительными построениями: проводи параллельные прямые, высоты или продолжай боковые стороны трапеции до пересечения.

Сделай следующий шаг к максимальному баллу прямо сейчас: зарегистрируйся в платформе «Просто Урок» и реши 5 тренировочных заданий бесплатно, чтобы проверить свою логику и закрепить пройденный материал на практике.